Question

1)piramida patrulatera VABCD are latura AB =24   si muchiile laterale egale cu 12√3. Stiind ca M mijlocul BC si N mijlocul lui AD , aratati ca VM perpendicular VN .
2) in paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', cu AB=BC=12 si AA'=24 , E si F sunt mijloacele muchiilor [BB'] si respectiv [CC']. Aflati amsura unghiului dintre dreptele CE si D'F

Answer 1

1) In Δ dreptunghic VBM ( pt ca ΔVBC este isoscel cu VB=VC , M este mijlocul laturii BC=>VM este inaltime si bisectoare )
BM=BC:2=12
VM²=VB²-BM²=(12√3)²-12²=12²*2
VM=12√2=VN (deoarece ΔVBC=ΔVAD)
MN=AM=24
in ΔVNM
observam ca 
VN²+VM²=12²*2+12²*2=12²*2²=24²=MN²
Daca VN²+VM²=MN², atunci ΔVMN este dreptunghic cu <NVM=90° =>
VM_|_VN

2)Daca prin E ducem o dreapta || cu D'F aceasta este A'E
=> unghiul cautat este cel format de A'E si EC.

in Δ dreptunghic A'EB avem:
A'B'=12
B'E=BB':2=12
=> A'E=12√2
De asemenea gasim EC=12√2 (pentru ca, in Δdreptunghic ECB  EB=12 si BC=12)

in ΔA'AC 
AA'=24
AC=12√2
=> A'C²=AA'²+AC²=24²+12²*2=12²*6
A'C=12√6

Avem Δ isoscel EA'C cu A'E=EC=12√2 si A'C=12√6
daca ducem ialtimea EM
MC=A'C:2= 6√6
in ΔEMC
tg <MEC=MC/EC=6√6/12√2=6√6*√2/12*2=√3/2
=> <MEC= 60°
<A'EC=2*<MEC=2*60=120°

=> masura unghiului dintre dreptele CE si D'F este 120°