Question

1. Rezolva in N inecuatiile :
a)x ≤ |-4|-|-2| b)3x-4<8 c)5x ≤ 11

2.Rezolvati in multimea Z/N inecuatiile :
a) 3x + 7 ≥ 4 b)5x - 2 ≥ 4x - 6

3.Aratati ca a = -2 este solutie a inecuatiei (x+4)²-2x ≤ -5x+3

4.Se considera multimea M= {x∈ Z | | x | ≤ 4 } . Determinati multimea M ∩ S , unde S este multimea solutiilor inecuatiei 12 (2x + 1 ) - 3 (3x - 2) > 5 (0,4x - 11 .

5. Determinati elementele comune multimilor A={x ∈ Z | 9x + 2 ( - 4x + 5) ≤ 12 } si B ={x ∈ Z | 4(x - 5) - 3(2x+2) > - 3 (9+x)}

6.Determinati ca 2a²+2b²+2c² ≥ 2ab + 2ac + 2bc , pentru orice a,b,c ∈ R .

Answer 1

1. Rezolva in N inecuatiile : 
a)x ≤ |-4|-|-2| b)3x-4<8 c)5x ≤ 11

a) x ≤  4 - 2, deci x ≤ 2, x = 0, 1, 2
b)3x-4<8, deci 3x<12, x<4, x = 0, 1, 2, 3
c)5x ≤ 11, deci x≤ 11/5 = 2,2, x = 0, 1, 2

2.Rezolvati in multimea Z/N inecuatiile : 
a) 3x + 7 ≥ 4 b)5x - 2 ≥ 4x - 6 

a) 3x + 7 ≥ 4, deci 3x  ≥ -3, x ≥ -1
b) 5x - 2 ≥ 4x - 6, deci x ≥ -4

3.Aratati ca a = -2 este solutie a inecuatiei (x+4)²-2x ≤ -5x+3 
Inlocuim a in ecuatie si avem:
4-16+16+4 ≤  10 + 3
8 ≤  13     (A)

4.Se considera multimea M= {x∈ Z | | x | ≤ 4 } . Determinati multimea M ∩ S , unde S este multimea solutiilor inecuatiei 12 (2x + 1 ) - 3 (3x - 2) > 5 (0,4x - 11 . 
24 x +12 - 6x + 6 > 2x - 55
18 x + 18 > 2x - 55
16 x >  - 73
x >  - 4,5625

Multimea M are de la -4 la 4 inclusiv, iar S are de la -4,5625 (exclusiv) pana la infinit.
multimea M ∩ S  = (-4.... +4)

5. Determinati elementele comune multimilor A={x ∈ Z | 9x + 2 ( - 4x + 5) ≤ 12 } si B ={x ∈ Z | 4(x - 5) - 3(2x+2) > - 3 (9+x)} 

A = 9x - 8 x + 10 ≤ 12, deci x ≤ 2
B = 4x-20 -6x -6 > -27 - 3x, deci -2x -26 > -27 - 3x, x > -1
Elemente comune ale lui A si B sunt (0,1,2)

6.Determinati ca 2a²+2b²+2c² ≥ 2ab + 2ac + 2bc , pentru orice a,b,c ∈ R .
2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc≥0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)≥0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0
Patratele perfecte sunt intotdeauna pozitive, iar suma lor cu atat mai mult.