Question

1. Rezolvați ecuația 3x^2 =(15-3 radical3) radical 28 - 10radical3.
Vă rog să mă ajutați!

Answer 1

Pentru a putea rezolva exercitiul, trebuie sa ne dăm seama că $\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }$ se poate scrie ca $\displaystyle{ (5 - \sqrt{3})^{2} }$.

$\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }$ il vom scrie ca $\displaystyle{ 25 - 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3 }$

Cunoscand formula $\displaystyle{ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} }$ observam ca a = 5 iar b = $\sqrt{3}$

Dacă nu îți dai seama de descompunerea asta nu e nicio problemă. Nu trebuie neapărat să descompui așa ca să rezolvi exercițiul, dar prin descompunere vezi soluția mult mai ușor.

$\displaystyle{ 3x^{2} = (15 - 3\sqrt{3}) \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} }$

$\displaystyle{ 3x^{2} = (15 - 3\sqrt{3}) \sqrt{(5-\sqrt{3})^{2}} }$

$\displaystyle{ 3x^{2} = (15-3\sqrt{3})(5 - \sqrt{3}) }$

• Acum desfacem parantezele si inmultim.

$\displaystyle{ 3x^{2} = 15 \cdot 5 - 15\sqrt{3} - 5 \cdot 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} }$

$\displaystyle{ 3x^{2} = 75 - 15\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 3 \cdot 3}$

• Dam radical din 3 factor comun.

$\displaystyle{ 3x^{2} = 75 + 9 - \sqrt{3} \cdot (15 + 15) }$

$\displaystyle{ 3x^{2} = 84 - 30 \sqrt{3} }$

• 84 se divide cu 3, deci impartim tot randul la 3.

$\displaystyle{ x^{2} = 28 - 10\sqrt{3} }$

Si ajungem de unde am plecat, practic. Am vazut in prima parte a raspunsului ca $\displaystyle{ 28 - 10\sqrt{3} }$ este de fapt $\displaystyle{ (5- \sqrt{3})^{2} }$. Prin urmare:

$\displaystyle{ x^{2} = (5 - \sqrt{3})^{2} }$

Aplicam radical de ordin 2 si obtinem 2 solutii reale:

$\boxed{x_{1} = 5 - \sqrt{3}}$ si $\boxed{x_{2}=-5 + \sqrt{3}}$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: