Question

1 . Rezolvati inecuatiile :
a ) 3$x^{2}$-9
----------------------------- (nush sa fac fractia ) > 0
2$x^{2}$-4x-6
b ) 2x-1
------------ $\geq$ 1
$x^{2}$-2x+3

2. Daca sinx - cosx = 1 pe 2 si X ∈ ( 0 ; π pe 2 ) , calculati :
a) sin (2x)
b) cos (2x)
c) tg (2x)

Answer 1

1.  a)   (3x² -9) /(2x² -4x - 6) > 0 ⇔  3(x² -3)/[2(x² - 2x -3)] > 0
3(x² - 3)/[2(x-3)(x+1)] >0
I.    x² - 3 > 0    x > √3    x - 3> 0   x > 3     x + 1 > 0    x > - 1 ⇒   x> 3
x ∈ (3,+∞)
II.  x²-3 < 0      x < √3     x - 3 <0    x < 3    x+1>0    x > - 1
x ∈ (-1,3)
III.   x² - 3 <0   x < √3     x-3>0    x > 3     x+1<0   x< -1
x ∈ (-∞, -1) ∪ (3,+∞)
⇒ x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1,3) ∪ (3,+∞)
b) 2x-1 ≥ x² - 2x + 3  ⇔    x² - 4x + 4 ≤ 0      (x -2)² = 0    x = 2
2.  sin x - cosx = 1/2       sin²x - 2sinx cosx +cos²x = 1/4    2sinxcosx = 1-1/4
a)  sin 2x = 2sinxcosx  = 3/4      
b)cos2x = cos²x - sin²x = (cosx - sinx)(cosx + sinx) = -1/2(cosx + sinx) =
=-1/2 ·√5/2 = - √5
( sinx + cosx)² = 1 + 3/4 = 5/4   ⇒ sinx + cosx = √5 /2
c) tg2x = sin2x/cos2x = 3/4 ·2/√5 = 3/(2√5) = 3√5/10