Question

1.) S= 1+2+...+2020
2.) S= 2+4+6+...+2020
3.) S= 1+3+...+2021
4.) S= 1+4+4^2+...+4^2020
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Answer 1

 

$\displaystyle\bf\\1)\\\\1+2+3+...+2020=\frac{2020(2020+1)}{2}=1010\times2021=\boxed{\bf2041210}\\\\2)\\\\2+4+6+...+2020=2(1+2+3+...+1010)=\\\\=2\times\frac{1010\times1011}{2}=1010\times1011=\boxed{\bf1021110}\\\\3)\\\\1+3+5+...+2011=?\\\\Calnculam~numarul~de~termeni~(n).\\\\n=\frac{2011-1}{2}+1=\frac{2010}{2}+1=1005+1=1006~termeni.\\Aplicam Gauss:\\\\1+3+5+...+2011=\frac{n(2011+1)}{2}=\\\\=\frac{1006\times2012)}{2}=1006\times1006=1006^2=\boxed{\bf1012036}$

.

$\displaystyle\bf\\4)\\\\1+4+4^2+...+4^{2020}=\\\\=4^0+4^1+4^2+...+4^{2020}=\boxed{\bf \frac{4^{2021}-1}{4-1}}$