Question

1. Sa se afle n numar intreg pentru care √(4n²-4n+8) ∈ Z.
2. Determinati laturile a, b, c ale unui triunghi ABC si unghiurile stiind ca: √(a²-4√3a + 21) + √(b²-2√3b + 28) + √(c² - 6c + 25) ≤ 12.

Answer 1

1.
√(4n^2-4n+8)=√4(n^2-n+2)
pentru ca radicalul sa fie intreg sub el sa fie un patrat perfect
n^2-n+2=4
n^2-n-2=0
(n-2)(n+1)=0
n=2
n= -1
√(a^2-4√3 a +21)=√[(a-2√3)^2 +9]
√(b^2-2√3 b + 28)=√[(b-√3)^2 + 25]
√(c^2-6c+25)=√[(c-3)^2 + 16]
pentru ca suma radicalilor sa fie ≤12 avem:
a=2√3
b=√3
c=3
cu aceste valori suma radicalilor este 12
a^2 = b^2+c^2 deci tr. dreptunghic
a este ipotenuza si b,c catete

sin(u1)=b/a=√3/2√3 = 1/2, ⇒  u1=30°
sin(u2)=c/a=√3 /2, ⇒  u2=60°
u1 si u2 sunt unghiurile ascutite ale tr. dreptunghic