Question

1) Sa se arate ca in orice triunghi ABC exista relatia : a · sin ( $\frac{B - C}{2}$ ) = (b - c) · cos $\frac{A}{2}$

2) Sa se arate ca in orice triunghi ascutitunghic are loc relatia: 1 < $\frac{sin A + sin B + sin C}{cos A + cos B + cos C}$ < 2

Answer 1

a) Se folosesc formulele:

$sin\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}};\ \ cos\dfrac A2=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}$ si analoagele si avem:

$a\ sin\dfrac{B-C}{2}=a\left(sin\dfrac B2\ cos\dfrac C2-sin\dfrac C2\ cos\dfrac B2\right)=$

$=a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-c)}{ac}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-c)}{ab}}-a\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)}{ab}}\cdot\sqrt{\dfrac{p(p-b)}{ac}}=$

$=(p-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}-(p-b)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=(b-c)\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}}=$

$=(b-c)cos\dfrac A2$