Question

1)Sa se arate ca $sin^2 \ 1^0+sin^2 \ 2^0+...+sin^2 \ 90^0= \frac{91}{2}$


2)Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 4. Sa se calculeze modulul vectorului $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$

Rog enuntarea formulelor folosite.

Answer 1

1. Nu voi mai pune semnul de grade, pentru ca e obositor. Toate argumentele sunt in grade.

$sin^21+sin^22+...+sin^244+sin^245+sin^246+...+sin^289+sin^290 \\ =sin^21+sin^22+...+sin^244+sin^245+1-cos^246+1-cos^247+ \\ +...+1-cos^289+sin^290 \\ Formula:\ cosx=sin(90-x) \\ Transformam\ toate\ cosinusurile: \\ sin^21+sin^22+...+sin^244+sin^245+1-sin^244+1-sin^243+...+ \\ +1-sin^21+sin90=44+sin^245+sin^290=45+ (\frac{\sqrt2}{2}) ^2=45+ \frac{2}{4}= \\ 45+ \frac{1}{2}= \frac{91}{2}$

2.
Am desenat cu negru hexagonul ABCDEF si vectorii AC si BD. Vectorul BD este egal cu vectorul AE (paraleli, egali in modul, acelasi sens) pe care l-am desenat cu albastru. Acum problema devine cum adunam vectorii AC si AE, adunare mai simpla pentru ca au aceeasi baza deci ii putem aduna folosind regula paralelogramului, pe care am ilustrat-o cu rosu. Am uitat sa notez pe desen dar notam vectorul suma obtinut cu AM.
Acum putina geometrie de clasa a 7a. Hexagonul e greulat deci are toate unghiurile de 120 grade. Unghiul BAC are 30 de grade (se poate demonstra imediat deoarece triunghiul ABC e isoscel si un unghi e de 120 deci celelalte sunt de 30). Analog unghiul FAE are 30 de grade. Deci unghiul EAC are 60 de grade (120-30-30). Triunghiul ACE este echilateral, deoarece este isoscel si are un unghi de 60 de grade. Inaltimea sa este (l√3)/2, unde l este latura triunghiului echilatera, NU a hexagonului. Asta inseamna ca vectorul AM este l√3, deoarece si triunghiul MEC este echilateral. Mai ramane doar sa calculam cat este latura triunghiului echilateral. Asta se poate face imediat ducand inlatimea in triunghiul AFE care este isoscel, deci inaltimea e si mediana. Notam piciorul inaltimii cu H sa zicem, deci H e mijlocul lui AE. cos HAF = HA / AF.
cos 30 grade = HA/4
$\frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{HA}{4} \\ HA=2 \sqrt{3} \\ Deci AE=4 \sqrt{3} \\ \vec{AM}=4 \sqrt{3}\cdot\sqrt3=12$