Question

1. Să se calculesele următoarele sume şi să se verifice prim inducţie matematica. Doua exemple din fiecare va rog . ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

• c)

S3=∑k²+∑3k **=

n(n+1)(2n+1)/6+3n(n+1)/2=

n(n+1)(2n+1)/6+9n(n+1)/6=

k(k+1)(2n+1+9)/6=n(n+1)(2n+10)/6=n(n+1)(2n+5)/3

**formul este dedusa prin calcul folosind formulele cunoscute pt∑k² si, respectiv , pt ∑k

ne propunem sa o verificam prin inductie

pt n=1

1*4=1*2*6/3.....4=4 , A

pt n=2

184+2*5=2*3*7/3

14=14, A

deja am verificat pt n=1 si pt n=2

presupunem Pn adevarata ...

atunci P indice (n+1) devine

n(n+1)(n+5)/3+ (n+1)(n+1+3)=

n(n+1)(n+5)/3+3(n+1) (n+4)/3=

((n+1)/3) *(n²+5n+3n+12)=

((n+1)/3)) *(n²+8n+12)=

(n+1)(n+2) (n+6)/3= (n+1)( n+1+1) (n+5+1)/3=P(n+1)

deci este verificat prin inductie

sooy, o a doau, poate ti face altcineva

• e) S5 pare iarasi simpla..este cunoscuta, este n/(n+1), cunmoscuta din multe exercitii, inclusiv de la gimnaziu;

verificare pt n=1

1/1*2=1/(1+1).....1/2=1/2, A

Presupunem Adevarat Pn

atunci

n/(n+1)+1/((n+1)(n+2))= (n^2+2n+1)/((n+1)(n+2)0= (n+1)²/(n+1) (n+2)= (n+1)/(n+2) = (n+1)/((n+1)+1) deci Pn⇒P(n+1)

demonstrat prin inductie completa