Question

1.Sa se calculeze aria suprafetei cuprinsa intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatii x=0 si x= pi/2, unde f(x)= x ori sinx.
2. Se considera functia f: R-->R, f(x)= x la 2007 + x + 1.
Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei h:[1,3]-->R, h(x)= f(x) - x la 2007 - 1.

Answer 1

$\displaystyle 1.~f(x)=xsinx~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0~~~~~~~~~~~~~x=\frac{\pi}{2} \\ \\ A=\int\limits_a^b|f(x)|dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2} }|xsinx|dx\\ \\ \int\limits xsinxdx\\ \\ \int\limits f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)\\ \\ f(x)=x~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=x'=1\\ \\ g'(x)=sinx~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits sinxdx=-cosx+C\\ \\ \int\limits xsinx=x\cdot (-cosx)-\int\limits(-cos~x)dx=-xcosx+\int\limits cosxdx=\\ \\ =-xcosx+sinx+C=sinx-xcosx+C$

$\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi}{2} }xsinxdx=(sinx-xcosx)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2} }=sin\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{2}\cdot cos\frac{\pi}{2} - (sin0-0 \cdot cos0)=\\ \\ =1-\frac{\pi}{2}\cdot 0-0=1\\ \\ A=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2} }xsinxdx=1\\ \\ A=1$

$\displaystyle 2.~f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~f(x)=x^{2007}+x+1\\ \\ h:[1;3]\rightarrow \mathbb{R}, ~h(x)=f(x)-x^{2007}-1\\ \\ h(x)=f(x)-x^{2007}-1=x^{2007}+x+1-x^{2007}-1=x\\ \\ h(x)=x\\ \\ V=\pi\int\limits_a^bh^2(x)dx=\pi\int\limits_1^3x^2dx=\pi \cdot \frac{x^3}{3} \Bigg|_1^3=\pi \left(\frac{3^3}{3} -\frac{1^3}{3} \right)=\\ \\ =\pi \cdot \frac{27-1}{3} =\pi \cdot \frac{26}{3} =\frac{26\pi}{3} \\ \\ V=\frac{26\pi}{3}$