Question

1. Sa se calculeze modulul numerelor complexe:
a) 2 - i
b) 5 + 8i/8 - 5i
c) (1 - i) la a 4 a
d) (3 + 4i) la a 4 a
e) 9 la puterea x - 4*3 la x + 3=0
f) (1 + i radical din 3) la -10
2. Sa se rezolve, in multimea numerelor complexe, ecuatiile:
a) x patrat = -9
b) x patrat - 8x + 25 = 0
c) x patrat - 2x +4 = 0
d) x patrat + 2x + 2 = 0
e) x la puterea 4 = 16

Answer 1

Hello, modulul unui numar complex se calculeaza dupa formula: radical(a^2 + b^2), unde z=a + b*i.
Cercetam primul exemplu:
2 - i, obervam ca a=2 si b=-1, deci modulul acestui numar e radical(4 + 1)=radical(5).
5 + 8*i / 8 - 5*i, mai intii trebuie sa aducem la forma a + b*i, noi stim ca pentru a face asta amplificam cu conugata numitorului, primim:
(5 + 8*i)*(8 + 5*i) / (8 - 5*i)*(8 + 5*i), la numarator inmultim parantezele cum stim, iar la numitor abserva ca este formula (a - b)*(a + b)=a^2 - b^2, obtinem:
89*i/89 = i, aici a=0 si b=1, calculezi dupa formula scrisa mai sus.
(1 - i)^4, pentru a calcula a si b, aducem acest numar la forma sa trigonometrica, daca nu stii, scrie in comentarii, si obtinem: [radical(2)*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))]^4, acum conform formulei lui Moivre, obtinem ca numarul complex va fi: 4*(cos(-pi) + i*sin(-pi)), si noi stiam ca r e modulul nr complex => modulul acestui numar e 4.
(3 + 4*i), analog ca si la cazul precedent.
9^x -4*3^x + 3 = 0, ok, putem trata aceasta ecuatie ca o ecuatie de gradul 2, fie t=3^x => t^2=9^x => t^2 - 4*t + 3 = 0, il gasesti pe t, care e 1 si 3 si egalezi:
3^x=1 => x=0, deci numarul complex e 0, deci modulul lui e 0.
3^x=3 => x=1, numarul complex e 1, modulul lui e 1.
(1 + rad(3)*i)^(-10), analog ca la (1-i)^4, doar ca ridici la putere negativa.
Acum, exercitiul 2:
x^2=-9, pentru a rezolva, putem scrii -9 ca 9*i^2 => x^2=9*i^2 => x=3*i.
x^2 -8*x + 25 = 0, aici calculezi delta obisnuit: 64 - 4*25 = -36, observam ca e negativ, insa putem scrie -36 ca 36*i^2, iar radical din aceasta va fi 6*i, deja rezolvi ecuatia de gradul 2 obisnuit.
Asa procedezi si la celelalte cazuri.
O ultima nota as vrea sa scriu pentru ultimul exemplu, aici vei avea 2 solutii, x=2 si x=2i, deoarece i^4=1.
Si cam atit, mult succes.