Question

1. Sa se calculeze numerele:
C$^{3} _{5}$ , C$^{4} _{8}$, C$^{7} _{10}$, C$^{2009} _{2010}$
1+C$^{1} _{3}$+C$^{2} _{3}$+C$^{3} _{3}$=
C$^{23} _{25}$ -5C$^{13} _{15}$+3C$^{7} _{10}$=
C$^{3} _{5}$× C$^{2} _{4}$ - C$^{2} _{4}$ × C$^{1} _{3}$+ C$^{1} _{3}$× C$^{0} _{2}$=
2. Sa se verifice daca au loc egalitatile:
a) C$^{5} _{200}$=C$^{195} _{200}$
b) C$^{3} _{19}$= C$^{3} _{18}$+C$^{2} _{18}$

3. Rezolvati:
a)C$^{3} _{n}$ = $\frac{5n(n-3)}{4}$
b) C$^{n-2 } _{n}$ + 2n=9

4. Intr-un triaj sunt 25 de vagoane de calatori. In cate moduri se poate forma un tren personal compus din 6 vagoane?

5. Sa se rezolve in N ecuatiile:
a) C²$_{n-1}$ =21
b) C$^{3} _{2n}$ =14n
c) C$^{2} _{n}$ =C$^{1} _{n}$ +2

Answer 1

$\displaystyle 1).C_5^3,~C_8^4,~C_{10}^7,~C_{2010}^{2009} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \boxed{C_n^k= \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} } \\ C_5^3= \frac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{\not2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{\not2! \cdot 3!} = \frac{\not3 \cdot \not4 \cdot 5}{1 \cdot \not2 \cdot \not3}=2 \cdot 5=10$

$\displaystyle C_8^4= \frac{8!}{(8-4)! \cdot 4!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{\not 4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{\not 4! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot \not6 \cdot 7 \cdot \not8}{1 \cdot \not2 \cdot \not3 \cdot \not4} = \\ \\ =5 \cdot 7 \cdot 2=70$

$\displaystyle C_{10}^7= \frac{10!}{(10-7)! \cdot 7!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{\not 7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{3! \cdot \not7!} = \frac{\not 8 \cdot \not9 \cdot 10}{1 \cdot \not2 \cdot \not3} = \\ \\ =4 \cdot 3 \cdot 10=120$

$\displaystyle C_{2010}^{2009}= \frac{2010!}{(2010-2009)! \cdot 2009!} = \frac{2010!}{1 \cdot 2009!} = \frac{\not2009 ! \cdot 2010}{1 \cdot \not2009!} =2010$

$\displaystyle 1+C_3^1+C_3^2+C_3^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \boxed{C_n^1=n} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{C_n^n=1} \\ 1+C_3^1+C_3^2+C_3^3=1+3+ \frac{3!}{(3-2)! \cdot 2!} +1=1+3+ \frac{3!}{1 \cdot 2!} +1= \\ \\ =1+3+ \frac{\not2! \cdot 3}{1 \cdot \not2!} +1=1+3+3+1=8$

$\displaystyle C_{25}^{23}-5C_{15}^{13}+3C_{10}^7= \\ \\ = \frac{25!}{(25-23)! \cdot 23!} -5 \cdot \frac{15!}{(15-13)! \cdot 13!} +3 \cdot \frac{10!}{(10-7)! \cdot 7!} = \\ \\ = \frac{25!}{2! \cdot 23!} -5 \cdot \frac{15!}{2! \cdot 13!} +3 \cdot \frac{10!}{3! \cdot 7!}=$

$\displaystyle = \frac{\not23! \cdot 24 \cdot 25}{2! \cdot \not23!} -5 \cdot \frac{\not13! \cdot 14 \cdot 15}{2! \cdot \not13!} +3 \cdot \frac{\not7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{3! \cdot \not7!} = \\ \\ = \frac{\not 24 \cdot 25}{1 \cdot \not2} -5 \cdot \frac{\not14 \cdot 15}{1 \cdot \not 2} +3 \cdot \frac{\not8 \cdot \not9 \cdot 10}{1 \cdot \not2 \cdot \not3} = \\ \\ =12 \cdot 25-5 \cdot 7 \cdot 15+3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 10=300-525+360=135$

$\displaystyle C_5^3 \cdot C_4^2-C_4^2 \cdot C_3^1+C_3^1 \cdot C_2^0 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~\boxed{C_n^0=1} \\ \\ C_5^3 \cdot C_4^2-C_4^2 \cdot C_3^1+C_3^1 \cdot C_2^0~= \\ \\ = \frac{5!}{(5-3)! \cdot 3!} \cdot \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} - \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2} \cdot 3+3 \cdot 1=$

$\displaystyle = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!} - \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot 3+3 \cdot 1= \\ \\ = \frac{\not3! \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot \not3!} \cdot \frac{\not2! \cdot 3 \cdot 4}{\not2! \cdot 2! } - \frac{\not2! \cdot 3 \cdot 4}{\not2! \cdot 2!} \cdot 3+3 \cdot 1= \\ \\ = \frac{\not4 \cdot 5}{1 \cdot \not2} \cdot \frac{3 \cdot \not4}{1 \cdot \not2} - \frac{3 \cdot \not4}{1 \cdot \not2} \cdot 3+3 \cdot 1=2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2-3 \cdot 2 \cdot 3+3 \cdot 1= \\ \\ =60-18+3=45$

$\displaystyle 2a). C_{200}^5=C_{200}^{195} \\ \\ C_{200}^5= \frac{200!}{(200-5)! \cdot 5!} = \frac{200!}{195! \cdot 5!} = \frac{\not195! \cdot 196 \cdot 197 \cdot 198 \cdot 199 \cdot 200}{\not195 \cdot 5!} = \\ \\ = \frac{196 \cdot 197 \cdot \not198 \cdot 199 \cdot \not200}{1 \cdot \not2 \cdot \not3 \cdot \not4 \cdot \not5} =196 \cdot 197 \cdot 33 \cdot 199 \cdot 10=2535650040$

$\displaystyle C_{200}^{195}= \frac{200!}{(200-195) \cdot 195!} = \frac{200!}{5! \cdot 195!} = \\ \\ = \frac{\not195! \cdot 196 \cdot 197 \cdot 198 \cdot 199 \cdot 200}{\not195 \cdot 5!} = \frac{196 \cdot 197 \cdot \not198 \cdot 199 \cdot \not200}{1 \cdot \not2 \cdot \not3 \cdot \not4 \cdot \not5} = \\ \\ =196 \cdot 197 \cdot 33 \cdot 199 \cdot 10=2535650040 \\ \\ 2535650040=2535650040 \Rightarrow C_{200}^5=C_{200}^{195}$

$\displaystyle b).C_{19}^3=C_{18}^3+C_{18}^2 \\ \\ C_{19}^3= \frac{19!}{(19-3)! \cdot 3!} = \frac{19!}{16! \cdot 3!} = \frac{\not16! \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19}{\not16! \cdot 3!} = \\ \\ = \frac{17 \cdot \not18 \cdot 19}{1 \cdot \not2 \cdot \not3} =17 \cdot 3 \cdot 19=969$

$\displaystyle C_{18}^3+C_{18}^2= \frac{18!}{(18-3)! \cdot 3!} + \frac{18!}{(18-2)!\cdot 2!} = \\ \\ = \frac{18!}{15! \cdot 3!} + \frac{18!}{16! \cdot 2!} = \frac{\not15! \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{\not15! \cdot 3!} + \frac{\not16! \cdot 17 \cdot 18}{\not16! \cdot 2!} = \\ \\ = \frac{\not16 \cdot 17 \cdot \not18}{1 \cdot \not2 \cdot \not3} + \frac{17 \cdot \not18}{1 \cdot \not2} =8\cdot 17 \cdot 6+17 \cdot 9=816+153=969 \\ \\ 969=969 \Rightarrow C_{19}^3=C_{18}^3+C_{18}^2$