Question

1.Sa se demonstreze ca a= $\sqrt{7+4 \sqrt{3} } + \sqrt{7-4 \sqrt{3} }$ este numar natural.

2. Sa se demonstreze ca numarul $\frac{1}{ \sqrt{1}+ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{4} } +....+ \frac{1}{ \sqrt{99}+ \sqrt{100} }$ apartine lui N.

3. Se considera numarul real s=1+ $\frac{1}{2} + \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 2^{3} }+....+ \frac{1}{ 2^{2008} }$ . Sa se demonstreze ca s aprtine(1,2)

Answer 1

1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 +4\sqrt{3}} = \sqrt{4 +4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2}$

L-am scris pe 7 ca 4+3 şi pe 3 ca $\sqrt{3}^2$ . Acum dăm factor comun:

$\sqrt{4 +4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+ \sqrt{3}$

La fel procedăm şi pentru celălalt termen:

$\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{4 -4\sqrt{3} + \sqrt{3}^2} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}$

Suma lor o să fie $2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} = 4$, care este număr natural.



2) Primul termen poate fi amplificat cu conjugata numitorului şi obţinem:

 $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1} } = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1}) } = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1} = \sqrt{2}-1$

Amplificăm şi al doilea termen cu conjugata numitorului:

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

Procedăm la fel şi pentru al 3-lea şi obţinem:

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \sqrt{4}-\sqrt{3}$

La fel şi pentru celălalte.... Vei observa că adunându-le se simplifică şi rămâi la final cu:

$1 + \sqrt{100} = 11$, care aparţine N.



3) (Îl separăm pe 1 de restul adunările, ca să se simplifice calculele şi îl adăugăm la final)

Termenii acelor adunări se află într-o progresie geometrică, în care:

[tex]b_{1}= \frac{1}{2}\\ \\ q=\frac{1}{2}\\ \\ b_{n} = \frac{1}{2^{2008}} \\ \\ n=2008[/tex]

Pentru suma termenilor unei progresii geometrice avem formula:

$S = b_{1} \frac{q^n-1}{q-1} = \frac{1}{2} * \frac{\frac{1}{2}^{2008}-1}{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}^{2008}$

Acum îl adunăm pe acel 1 pe care îl lăsasem în urmă:

$= 2- \frac{1}{2}^{2008}$

$\frac{1}{2}^{2008} < 1 \\ \frac{1}{2}^{2008} > 0$

De aici rezultă concluzia... (2 minus ceva mai mic decât 1 şi mai mare decât 0 aparţine (1,2)