Question

1. Sa se demonstreze ca f:R⇒R f(x)= e^x + x ^2014 este convexa.

2. f:R⇒R f(x)= x³ - 3x + 4
a) Sa se calculeze intervalele de monotonie
b) Sa se calculeze ecuatia tangentei x0=1

Answer 1

Răspuns:

f(x)=eˣ+x²⁰¹⁴

O  functie  este  convexa  , daca   derivata  2-a este  strict  pozitiva

f `(x)=eˣ+2014*x²⁰¹³

f  ``(x)=eˣ+2014*2013*x²⁰¹²

eˣ>0. , x²⁰¹²>0 pt  ca  exponentul  este  nr  par=>

f ``(x)=eˣ+2014*2013*x²⁰¹²>0  Functia  este convexa

-----------------------

2.f(x)=x³-3x+4

a) o  functie  e  strict crescatoare pe  un interval daca   derivata este   strict pozitiva si  este descrescatoare  peun interval  daca  derivata  este   strict negativa

f `(x)=3x²-3

f `(x)=0

3x²-3=0

3(x²-1)=0

x²-1=0

(x-1)(x+1)=0

x1= -1

x2=1

Conform regulii  semnului pt  functia  de   gradul  2 aceasta  este  pozitiva in afara  radacinilor  si  negativa  intre  radacini

x∈(-1,1) f `(x)<0  f(x) descrescatoare

x∈(-∞,-1)U(1,+∞)  f `(x)>0 , f   crescattoare

_____________

b) ecatia  tangentei

y-f(xo)=f `(xo)(x-x0)

f(1)=1³-3+4=1+1=2

f `(1)=0  S-a  calculat  anterior

y-2=0*(x-1)

y-2=0

y=2

Explicație pas cu pas: