Question

1. Să se demonstreze x, y ∈ [3,5] ⇒ xy - 4(x + y) + 20 ∈ [3,5].

2. Demonstraţi că nu există x ∈ R pentru care |x-3| + |x-4| + |x-5| ≥ 2, oricare x ∈ R.

Answer 1

Fie x∈[3,5]=> 3<=x<=5 |-4 =>-1<=x-4<=1 =>|x-4|<=1
 Fie y∈[3,5]=> 3<=y<=5 |-4 => -1<=y-4<=1 =>|y-4|<=1 Procedam la fel cu expresia, explicam de fapt ca este cumprinsa intre 3 si 5 cum am facut mai sus pentru x si y in parte

3<= xy - 4(x + y) + 20<= 5| -4
-1<= xy - 4(x + y) + 16<=1 rezulta ca
|xy - 4(x + y) + 16|<=1 aducem expresia la o forma mai simpla prin factor comun|x(y-4) - 4(y-4)|<=1=> |(y-4)(x-4)|<=1 adevarat deoarece am demonstrat mai sus ca
|x-4|<=1 respectiv |y-4|<=1
 Am folosit pentru mai mic si egal <=
Am folosit echivalenta -1<=a<=1<=>|a|<=1