Question

1) Sa se determine functiile de gradul 1 f : R --> R , care sunt strict crescatoare si indeplinesc conditia f ( f(x) ) = 4x+3 , ∀ x ∈ R.

2)Numerele reale pozitive a,b,c,d sunt in progresie geometrica.Stiind ca d - a=7 si c - b =2 , sa se determine ratia progresiei.

Answer 1

1)
$f\rightarrow\ gradul\ I\ \Rightarrow f(x)=ax+b \\ f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b \\ Dar\ f(f(x))=4x+3 \\ Deci \\ a(ax+b)+b=4x+3 \\ a^2x+ab+b=4x+3 \\ Coeficientii\ lui\ x\ trebuie\ sa\ fie\ egali\ intre\ ei \\ si\ termenii\ liberi\ trebuie\ de\ asemenea\ sa\ fie\ egali\ intre\ ei: \\ \left \{ {{a^2=4} \atop {ab+b=3}} \\ \right. \\ Pentru\ a\ avem\ posibilitatile\ 2\ si\ -2\ dar\ functia\ trebuie \\ sa\ fie\ strict\ crescatoare\ deci\ a=2 \\ 2b+b=3 \\ b=1 \\ Raspuns:\ f(x)=2x+1$

2)
Notam cu k ratia progresiei.
$ak^3=d \\ ak^2=c \\ ak=b \\ ak^3-a=7 \\ ak^2-ak=2 \\ \\ a(k^3-1)=7 \\ a(k^2-k)=2 \\ Impartim\ relatiile \\ \frac{k^3-1}{k^2-k} = \frac{7}{2} \\ 2k^3-2=7k^2-7k \\ 2k^3-7k^2+7k-2=0$
Observam ca o radacina este 1, si putem da astfel factor pe k-1 si egalitatea devine

$(k-1)(2k^2-5k+2)=0 \\ Cautam\ radacinile\ expresiei\ de\ gradul\ 2: \\ \Delta=25-16=9 \\ k_2= \frac{5-3}{4}= \frac{1}{2} \\ k_3= \frac{5+3}{4} =2 \\ \\ Raspuns:\ k\in \{ \frac{1}{2};1;2\}$