Question

1 Sa se determine multimea de convergenta si suma seriei
2 Sa se dezvolte functia polinomiala ​

Answer 1

Răspuns:

1) Enuntul e scris gresit. Trebuia sa fie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n2^n}$. Oricum, se rezolva asa:

$a_n=\frac{1}{n2^n}$

Raza de convergenta: $R=\lim_{n}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim_n \frac{1}{n2^n}\cdot\frac{(n+1)2^{n+1}}{1} = \lim_n \frac{2(n+1)}{n}=2.$

Pentru $x=2$ seria devine $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ care este divergenta (Seria armonica).

Pentru $x=-2$ seria devine $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ care este convergenta (Din criteriul Leibniz)

Prin urmare, multimea de convegenta este D=[-2,2).

Fie S(x)=suma seriei. Pentru $x\in (-2,2)$, avem:

$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x^n}{n2^n}\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{n2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n+1}} =$

$= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2-x}.$

Atunci, pentru $x\in [-1,1)$ avem

$S(x)=\int_0^x S'(t) dt = \int_0^x \frac{1}{2-t}dt = - \ln(2-t)|_0^x = ln 2 - ln (2-x).$

2) $f(x)=f(-2) + f'(-2)(x+2) + \frac{f''(-2)}{2!}(x+2)^2 + \frac{f'''(-2)}{3!}(x+2)^3$

Sper ca stii sa calculezi derivatele lui f. :)