Question

1)Sa se determine probabilitatea,ca alegand un element din multimea     {1,2,3,...,40} ,      numarul $2^{n+2}*6^n$              sa fie patrat perfect.


2)Sa se arate ca pentru oricare ar fi a ∈ R* , dreapta y=x+4 intersecteaza parabola y=ax² + (a-2)x +1 .

Answer 1

1)$2^{n+2}\cdot 2^n\cdot3^n=2^{2n+2}\cdot3^n=2^{2(n+1)}\cdot3^n$

Numarul va fi patrat perfect pentru orice n numar par.

Numerele pare din acea multime sunt: 2*1, 2*2...2*20 -> 20 de numere pare.

Probabilitatea e 20/40=1/2.


2) Egalam Y intre ei si obtinem

$ax^2+(a-2)x+1=x+4 \\ ax^2+(a-2)x-x+1-4=0 \\ ax^2+(a-3)x-3=0 \\ \Delta=(a-3)^2-4\cdot a\cdot(-3)=a^2-6a+9+12a=a^2+6a+9= \\ =(a+3)^2 \geq 0\ \ \forall a\in R^*$
Cum discriminantul este mai mare sau egal cu 0, inseamna ca ecuatia are cel putin o solutie, deci dreapta intersecteaza parabola in cel putin un punct.