Question

1.sa se determine valorile reale ale parametrului m astfel incat ecuatia x^2 + mx+m+3=0 sa admita doua solutii reale egale

2.Sa se determine valorile reale ale parametrului m stiind ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei x^2 - (m2+3)x +2m-1=0 verifica egalitatea x1 + x2 + x1x2=7

Multumesc​

Answer 1

Teorema lui Viete: Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației de gradul 2, ax^2 + bx + c = 0, atunci x1 + x2 = -b/a, iar x1 * x2 = c/a.

1)

$x^{2} + mx + m + 3 = 0 \\\text{Daca ecuatia are 2 solutii reale egale rezulta ca x_{1} = x_{2} }$

$\text{Deoarece solutiile sunt egale rezulta ca delta e 0}.\\\triangle = b^{2} - 4ac = m^{2} - 4(1)(m+3) = m^{2} -4m - 12 = 0\\\boxed{m_{1} = 6, m_{2} = -2}$

2)

$x^{2} - (m^{2} + 3) + (2m-1) = 0 \text{ , } x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 7$

$\text{Conform teoremei lui Viete: } x_{1} + x_{2} = m^{2} + 3, x_{1}x_{2} = 2m - 1.$

$m^{2} + 3 + 2m - 1 = 7 \implies m^{2} + 2m - 5 = 0$

$m_{1, 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{6}}{2} = \boxed{-1 \pm \sqrt{6}}$