Question

1. Sa se determine x numar real astfel incat numerele: $2^{x-1} , 5 * 2^{2x-4} , 2^{x+1}$ sa fie in progresie aritmetica in aceasta ordine.

2. Sa se determine x astfel incat numerele sa se afle in progresie aritmetica in ordinea data:

a) x+2 , 2x+3 , 4x+5;

b) 3x-6 , x+3 , 5x+7;

c) $<span>3x-6 , 5x-8 ,</span> x^{2} -4$;

d) 5x-3 , 4 , $x^{2} +5$;

e) $2x^{2} -x-8 , x^{2} +x-4 , 2x^{2} -3x;$

f) $\frac{x-1}{x} , \frac{x-2}{x} , \frac{x-3}{x}$

g) $2x- \frac{1}{2x} , x- \frac{1}{x} , \frac{x}{2} - \frac{2}{x} , (x \neq 0 )$

h) $3^{x} -1 , 3^{x} , 3^{x} +1.$

Answer 1

Daca iti mai aduci aminte de la discutia precedenta, principalul factor care ne ajuta sa determinam daca un sir este progresie aritmetica sau nu, era faptul ca diferenta dintre 2 termen consecutivi era intotdeauna un numar real constant numit ratie
Presupunand ca sirul incepe cu a0 si are ratia r atunci
$a_{n-1}=a_{0}+(n-1)*r$
$a_{n}=a_{0}+n*r$
$a_{n+1}=a_{0}+(n+1)*r$
Si acum le scadem 2 cate 2 consecutiv
$a_{n}-a_{n-1}=a_{0}+n*r-a_{0}-(n-1)*r=n*r-n*r+r=r$
$a_{n+1}-a_{n}=a_{0}+(n+1)*r-a_{0}-n*r=(n+1)*r-n*r+r=r<span>$
Deci observi ca diferentele sunt egale
$a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$
Acum aplicam aces lucru la problema ta
a) $2x+3-(x+2)=(4x+5)-(2x+3)\Rightarrow 2x+3-x-2=x+1=4x+5-2x-3=2x+2\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1$
b) $<span>x+3-(3x-6)=(5x+7)-(x+3)\Rightarrow x+3-3x+6=-2x+9=5x+7-x-3=4x+4\Rightarrow -2x+9=4x+4\Rightarrow 6x=5\Rightarrow x=\frac{5}{6}</span>$
c) $5x-8-(3x-6)=5x-8-3x+6=2x-2=x^{2}-4-(5x-8)=x^{2}-4-5x+8=x^{2}-5x+4\Rightarrow 2(x-1)=x^{2}-5x+4=x^{2}-x-4x+x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4)\Rightarrow 2(x-1)=(x-1)(x-4)$ Observam o prima solutie
x1=1. 
Impartim relatia prin x-1
$2=x-4\Rightarrow x=6$ Deci x2=6
d) $4-(5x-3)=x^{2}+5-4\Rightarrow 4-5x+3=7-5x=x^{2}+1\Rightarrow x^{2}+5x-6=0\Rightarrow x^{2}+6x-x-6=x(x+6)-(x+6)=(x-1)(x+6)=0$
Solutiile sunt atunci x1=1 si x2=-6
e) $x^{2}+x-4-(2x^{2}-x-8)=2x^{2}-3x-(x^{2}+x-4)\Rightarrow x^{2}+x-4-2x^{2}+x+8=-x^{2}+2x+4=2x^{2}-3x-x^{2}-x+4=x^{2}-4x+4\Rightarrow -x^{2}+2x+4=x^{2}-4x+4\Rightarrow 2x^{2}-6x=0\Rightarrow 2x(x-3)=0$
Solutiile sunt atunci x1=0 si x2=3
f) Putem rescrie termenii
$\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$
$\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$
$\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x}$
Atunci
$1-\frac{2}{x}-1+\frac{1}{x}=1-\frac{3}{x}-1+\frac{2}{x}\Rightarrow \frac{-2+1}{x}=\frac{-3+2}{x}\Rightarrow \frac{-1}{x}=\frac{-1}{x}$
Relatie care este reala pentru orice x diferit de 0(atunci cand ar da infinit) deci acesta e raspunsul x apartine lui R stelat
g)$x-\frac{1}{x}-(2x-\frac{1}{2x})=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}-(x-\frac{1}{x})\Rightarrow x-\frac{1}{x}-2x+\frac{1}{2x}=-x-\frac{1}{2x}=-\frac{x}{2}-\frac{1}{x}\Rightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{2x}=0\Rightarrow \frac{x^{2}-1}{3x}=0\Rightarrow x^{2}-1=0\Rightarrow (x-1)(x+1)=0$ deci solutiile sunt x1=1 si x2=-1
h)$3^{x}-(3^{x}-1)=3^{x}+1-3^{x}\Rightarrow 3^{x}-3^{x}+1=1=1$
se observa cu ochiul liber ca este o progresie aritmetica de ratie 1, pentru orice x real

si problema 1
$5*2^{2x-4}-2^{x-1}=2^{x+1}-5*2^{2x-4}\Rightarrow \frac{5}{16}*2^{2x}-\frac{2^x}{2}=2*2^{x}-\frac{5}{15}*2^{2x}$
Putem sa notam 
$2^{x}=a$ si
$2^{2x}=a^{2}$
Avem atunci
$<span>\frac{5}{16}a^{2}-\frac{a}{2}=2a-\frac{5}{16}a\Rightarrow 5a^{2}-8a=32a-5a^{2}\Rightarrow 10a^{2}-40a=0\Rightarrow 10a(a-4)=0</span>$
Deci avem 2 solutii
$a=0\Rightarrow 2^{x}=0$ceea ce este imposibil, nu poti sa ridici la vreo putere sa dea 0
$2^{x}=4\Rightarrow x=2$

Era simplu, vezi ca sunt foarte multe calcule de facut, de aceea nu prea s-a incumetat nimeni sa-l faca.