Question

1.Sa se rezolve ecuatia |-3x+2|= -x+1 ,x€R.
2.Sa se rezolve inecuatiile:
|2-4x|< sau egal 6
|2x+1|> sau egal 1

Answer 1

1.   | - 3x + 2| = - x +1 
daca ,- 3x + 2 ≥ 0 (x ≤ 2/3)⇒ |-3x+2|= -3x + 2-3x+2 = -x +1      2x = 1  x = 1/2 
daca -3x + 2 < 0 |-3x+2| = 3x - 2    3x - 2 = -x +1  4x = 3  x = 3/4 ⇒x∈{1/2,3/4}
2. |2-4x| ≤ 6 
daca 2-4x ≥ 0   (x ≤ 1/2)   |2-4x| = 2 - 4x     2-4x ≤ 6  4x ≥ - 4    x ≥-1 ⇒
x∈[-1,+∞)
daca 2-4x < 0   ( x> 1/2 )  |2-4x| = 4x - 2    4x -2 ≤ 6   x ≤2   x∈(-∞,2]
(-∞,2]∩[-1,+∞)= [-1, 2]
|2x+1| ≥1 
daca 2x+1≥0   (x≤ -1/2)    |2x+1| = 2x + 1    2x+1 ≥ 1    2x ≥0  x ∈ [0,+∞)
daca 2x+1<0   |2x+1| = -1 - 2x       -1-2x ≥ 1  2x ≤-2  x ∈(-∞,-1] 
[-∞,-1] ∩[0,+∞] = [-1,0]

Answer 2

explicitam modulul
1)  |-3x+2|=-3x+2 pentru -3x+2≥0, x≤2/3
2)  |-3x+2|=3x-2 pentru -3x+2<0, x>2/3

1) -3x+2=-x+1 ⇒ x=1/2
2) 3x-2=-x+1 ⇒2x=3, x=3/2 ambele solutii sunt bune deoarece se afla in domeniul lui x stabilit pentru fiecare varianta in parte: 1/2<2/3 si 3/2>2/3

|2-4x|≤6
a)   |2-4x|=2-4x pentru 2-4x≥0, x≤1/2,
inecuatia este 2-4x≤6, 4x≥-4, x≥-1   ⇒ x1∈[-1,1/2]
b)   |2-4x|=4x-2 pentru 2-4x<0, x>1/2
inecuatia este 4x-2≤6 , 4x≤8, x≤2  ⇒ x2∈(1/2,2]
domeniul final
x∈[-1,2]

|2x+1|≥1
pentru 2x+1≥0, x≥-1/2 inecuatia este
2x+1≥1, x≥0 , x1∈[0,∞)

pentru 2x+1<0, x<-1/2 inecuatia devine
-2x-1≥1 -2x≥2, x≤-1, x2∈(-∞,-1]

domeniul final
x∈(-∞,-1]∪[0,∞)