Question

1)Sa se rezolve ecuatiile :

a) |3x+7| = -x + 3
b) |2x-6|+3 = 8x - 1
c) |2x+4| + x +1 = 5x-2
d) |x-3| • | x+2 | = x+2
e)|x-4|-|x-3|=1
f)|2x+3|-|7x+5|+|x-2|=2


2)Sa se determine semnul functiei f:R -> R , definită prin :
a) f(x) = -3x + 12

Answer 1

Hello, pentru a rezolva punctele a-c, trebuie sa stim cum sa explicitam modulul:
|a| = a, a >= 0 si |a| = -a, a <= 0.
a) Deci |3*x + 7| = -x + 3 <=>
3*x + 7 = -x + 3
si
3*x + 7 = -(-x + 3)
<=>
x = -1.
x = -5.

b) |2*x - 6| + 3 = 8*x - 1 <=>
|2*x - 6| = 8*x - 4 <=>
2*x - 6 = 8*x - 4
si
2*x - 6 = -(8*x - 4)
<=>
x = -1/3, -2/3 - 6 < 0 => Nu e solutie!
x = 1.

|2*x + 4| + x + 1 = 5*x - 2 <=>
|2*x + 4| = 4*x - 3 <=>
2*x + 4 = 4*x - 3
si
2*x + 4 = -(4*x - 3)
<=>
x =7/2.
x = -1/6, 2*(-1/6) + 4 > 0 => Nu este solutie!

d) Acum la d, putem aplica proprietatea:
|a|*|b|=|a*b| =>
|x - 3|*|x + 2| = x + 2 <=>
|x² - x - 6| = x + 2 <=>
x² - x - 6 = x + 2
si
x² - x - 6 = -(x + 2)
<=>
x² - 2*x - 8 = 0
si
x² - 4 = 0
<=>
x = -2.
x = 2.
x = 4.

e) Aici se aplica metoda intervalelor:
|x - 4| - |x - 3| = 1 <=>
|x - 4| - |x - 3| - 1 = 0
Pe intervalul -infinit;3, primul modul -, al doilea -.
Pe intervalul 3;4, primul modul -, al doilea modul +.
Pe intervalul 4;+infinit, primul modul +, al doilea + =>
(-infinit;3] :
-(x - 4) -[-(x - 3)] - 1 = 0
-x + 4 + x - 3 - 1 = 0 =>
Pentru orice valoarea a lui x de pe intervalul -infinit;3, x este solutie.
[3;4] :
-(x - 4) - (x - 3) - 1 = 0 <=> -2*x + 6 = 0 <=> x = -1/3, insa nu apartine intervalului cercetat, deci nu este solutie.
(x + 4) - (x - 3) - 1 = 0 =>
Pentru orice valoarea a lui x de pe intervalul 4;+infinit, x este solutie.
Raspuns: x € (-infinit;3] U [4;+infinit]

La fel si la f.

Eu nu prea am explicat metoda intervalelor, deoarece ai spus ca o stii, daca ai intrebari, nu ezita! Sunt bucuros sa te ajut!

2) Semnul.
Egalam f(x) = 0 =>
-3*x + 12 = 0 <=> x = 4, -3 < 0 =>
Semnul pozitiv pe intervalul: (-infinit;4).
Semnul negativ pe intervalul: (4,+infinit).

Daca ai intrebari, scrie in comentarii!