Question

1.Sa se rezolve un triunghi ABC dreptunghic in A stiind ca raza cercului inscris este r= (RAD3) -1,iar raza cercului circumscris este R=2

2.Sa se arate ca daca in triunghiul ABC exista relatia b+c=a+2r, atunci triunghiul este dreptunghic.

Answer 1

2) 

[tex]\it b+c=a+2r \Rightarrow b+c-a=2r \ \ \ \ \ \ (1) \\ \\ (1) \Rightarrow r = \dfrac{b+c-a}{2} = \dfrac{a+b+c}{2} - a = p-a\ \ \ \ \ \ (2) \\ \\ \\ S = pr \stackrel{(2)}{\Longrightarrow} \ S = p(p-a) \Longrightarrow S^2= p^2(p-a)^2 \ \ \ \ \ \ (3)[/tex]

Din formula lui Heron, avem:

[tex]\it S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) \ \ \ \ \ \ (4) \\ \\ (3),\ (4) \Rightarrow p^2(p-a)^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)|_{:p(p-a)} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow p(p-a) = (p-b)(p-c) \Rightarrow p^2-pa = p^2- pc-pb +bc \Rightarrow [/tex]

[tex]\it \Rightarrow p(b+c-a) = bc \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} p\cdot2r=bc \Rightarrow pr=\dfrac{bc}{2} \Rightarrow S = \dfrac{bc}{2} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \Delta ABC- dreptunghic, m(\hat{A}) =90^o [/tex]