Question

1. Scrie numarul 13 ca o suma de doua patrate
2. Scrie numarul 13 la puterea 121 ca o suma de doua patrate
3. Arata ca numarul n = 1 x 2 x ........ 9 + 2 nu este patratul unui numar natural.

Answer 1

1. 13 = 4+9
2. 13^121=13x13^120=(4+9)x13^120=4x13^120+9x13^120
=(2x13^60)^2 + (3x13^60)^2
3. n= 2x5x.... +2 =.......0 + 2 = ........2, U(n)=2 si nu exista nici un patrat perfect care sa aiba ultima cifra 2, deci n nu este patrat perfect.
================

Answer 2

1) Pătratele perfecte mai mici decât 13 sunt:

     0 = 0²,  1 = 1²,  4 = 2², 9 = 3²

13 = 4 + 9 = 2² + 3²


2) 13¹²¹ = 13· 13¹²⁰ = (2² + 3²)·(13⁶⁰)² = 2²·(13⁶⁰)² + 3²·(13⁶⁰)² =

= (2·13⁶⁰)² + (3·13⁶⁰)²


3)  Produsul 1· 2 · 3 · 4 · 5 · ... ·9  conține factorii 2 și 5, care prin înmulțire 

vor da 10. Orice număr natural  înmulțit cu 10 se termină cu cifra 0.

Dacă la numărul care se termină cu cifra 0 adunăm cifra 2, atunci vom obține ultima  cifră 2.

Știm că un număr care se termină cu cifra 2 nu este pătrat perfect. 

Deci, numărul n din enunț nu este pătratul unui număr natural, deoarece
 
se termină cu cifra 2.