Question

1. Se considera f:R->R, f(x)=ax,x<=1 si f(x)=2, x>1;
a)Sa se determine a pentru care Im f=[-3,+infinit)
b)Pentru ce valori ale lui a functia f este crescatoare pe intervalul [-1,2]
c)Sa se arate ca functia g:R->R, g(x)=f(2x-1)-f(x) este monotona pentru oricare a din R.

Answer 1

a) Pentru x>1 functia este constanta. Ramane sa analizam cazul cand functia este monotona (adica cand x≤ 1)
Avem ca: 
f(1) =-3 
Deci a =-3

b)Pentru x∈ (1,2] functia este constata . Atunci este obligatoriu sa fie crescatoare pe [-1,1] .
Stim ca o functie liniara de gradul 1 este crescatoare daca  coeficientul lui x este strict pozitiv ,adica a>0  ⇒ a∈(0,∞)
 
c) Aici vom avea de analizat doua cazuri:
 i) Daca x≤1, simultan 2x-1≤1 ,deci vom avea:
     g(x)= a(2x-1) -ax
      g(x)= 2ax - a - ax
      g(x) =ax -a  ,care este evident monotona
     ii) Daca x>1 ⇒ 2x-1 >1 ,deci: 
    g(x)= 2 - 2= 0