Question

1. Se consideră funcția f:(0;infinit)->R, f(x)=x-2m+2. Să se determine m aparține R astfel încât graficul funcției f să nu intersecteze axa Ox.

2. Se consideră funcția f:(0;infinit)->R, f(x)=(m^2-1)x-2m+2. Să se determine m aparține R astfel încât graficul funcției să nu intersecteze axa Ox.

Answer 1

Ambele functii sunt functii de grad I, adica drepte. Ambele functii sunt ingradite la una dintre capete(x>0) deci de fapt sunt semidrepte. Daca sunt semidrepte, ne intereseaza 2 aspecte
1) daca aceste semidrepte sunt crescatoare sau descrescatoare(se duc in sus sau in jos)?
2) Care este capatul semidreptei, sau punctul de extrem

Directia unei semidrepte este data de coeficientul lui x: adica pentru f(x)=ax+n, a ne spune daca este crescatoare sau nu. Daca a>0, atunci e crescatoare, altfel e descrescatoare.
Ca sa fie deasupra axei Ox, punctul de extrem trebuie sa fie situat deasupra axei pentru a>0(daca e mai mare decat axa Ox, si functia e crescatoare) nu va intersecta vreodata axa Ox
Daca a<0 si punctul de extrem este deasupra axei Ox, stim ca functia e descrescatoare, si atunci dreapta va trece prin Ox la un moment dat
Daca a<0 si punctul de extrem este dedesubtul lui Ox, atunci stim sigur ca nu va trece niciodata prin Ox, pentru ca va scade in continuu si se va mentine dedesubt.

Acestea zise, sa vedem cazurile noastre
1) Aceasta are coeficient pozitiv a=1 deci e functie crescatoare. Asta inseamna ca punctul de extrem este deasupra axei Ox. Axa OX este corespondenta valorii y=0. Deci f(0)>0, unde 0 este punctul de extrem
Atunci: f(0)=0-2m+2=2-2m>0 adica 2>2m adica 1>m, deci daca m este mai mic decat 1, conditia e asigurata.
2) Coeficientul lui x este $m^2-1=(m-1)*(m+1)$ Aici avem 2 situatii
2a) m<-1 sau m>1 In aceste 2 cazuri, coeficientul $m^{2}-1>0$
Atunci daca este mai mare ca 0, trebuie ca punctul de minimum sa fie mai mare ca 0
$f(0)>0\Rightarrow 0-2m+2>0\Rightarrow 2>2m\Rightarrow 1>m$
deci m<1. Am presupus initial ca m<-1 sau m>1, din intersectarea celor 2 conditii rezulta ca m<-1 este o solutie
2b) -1<m<1, atunci $m^{2}-1<0$ este descrescatoare, si atunci f(0) trebuie sa fie mai mic decat 0
$f(0)<0\Rightarrow -2m+2<0\Rightarrow m>1$
Dar am presupus initial ca m<1. Cum m nu poate fi in acelasi timp si mai mare si mai mic decat 1, inseamna ca pentru acest caz nu sunt solutii.