Question

1. Se consideră funcţiile f, g :(0,+infinit)R, f (x) = e^x- 1 - x -x^2/2
g(x)=e^x-1-x
a) Demonstrați că f'(x) = g(x), oricare ar fi x € (0,+infinit).
b) Demonstrați că g(x) > 0, oricare ar fix € (0,+infinit).
c) Demonstrați că funcția feste strict crescătoare.

Answer 1

Răspuns:

f(x)=eˣ-1-x-x²/2

a)f `(x)=(eˣ) `-x`-(x²/2) `=

eˣ-1-2x/2=

eˣ-1-x=g(x)

b)Determini g `(x)

g `(x)=eˣ-1

g `(x)=0=> eˣ-1=0  eˣ=1   x=0

se observa ca eˣ-1>0 pt x>0 deoarece eˣ>1

ASadar functia g(x) este crescatoare si ia valoareea minima  in x=0

=. g(x)>0

c) deoarece g `(x)>0 => g(x) crescatoare

deoarece  f=g => si functia f este crescatoare

Explicație pas cu pas: