Question

1) Se considera numarul a=1/7
a) Aflati a 2013-a yecimala a lui a.
b) Calculati suma primelor 2013 zecimale ale numarului a.
2) Calculati suma S=(96,34+x)+(86,34+x)+...+(16,34+x), unde x=3,66.

Answer 1

Intai transformam $\frac{1}{7}$ in fractie zecimala. 
$\frac{1}{7}=0,(142857)$, asta inseamna ca insiruirea 142857 se repeta la infinit. Pentru a afla care este a 2013-a zecimala trebuie sa vedem de cate ori se va repeta insiruirea in cadrul a 2013 zecimale. Cum insiruirea e formata din 6 cifre impartim 2013 la 6. 
2013:6= 335, rest 3, deci avem 335 de repetari ale secventei intregi 142857 si mai avem de parcurs 3 cifre si anume primele 3 ale insiruirii 142, deci a 2013-a zecimala este 2, ultima cifra la care ne-am oprit cu numaratul.

Suma primelor 2013 cifre= 335*(1+4+2+8+5+7)+1+4+2= 335*27+7=9045+7=9052.
 
Pentru al doilea exercitiu observam ca diferentadintre 96,34 si 86, 34 este 10, deci fiecare prim termen din paranteza e mai mic cu 10 decat precedentul.

S=(16,34+80+x)+(16,34+70+x)+...+(16,34+10+x)+(16,34+x)=16,34*9+10+20+...+80+9x=
=147,06+10(1+2+...+8))+9x=147,06+10*8*9:2+9x=147,06+360+9*3,66=507,06+32,94=
=540