Question

1. Se considera p produsul primelor 100 de numere naturale nenule si n un numar natural nenul mai mare sau egal cu 2,dar mai mic sau egal cu 100. Este numarul p+n compus?
2. Folosind ideea de la exercitiul anterior,poti construi 999 de numere consecutive compuse?

Answer 1

$p=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot100$

$n\in N^*,\ n\geq2,\ n\leq100\rightarrow n\in\{2,3,4,...,100\}$

Stim ca n este unul din numerele 2, 3, ..., 100. Stim si ca p este egal cu produsul tuturor numerelor de la 1 la 100, asadar, unul dintre acestea trebuie sa fie n

$p=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n\cdot...\cdot100$

Fie m produsul dintre numere de la 1 la 100, mai putin n. Astfel:
$p=n\cdot m$

$p+n=n\cdot m+n=n(m+1)$

Este evident ca numarul p + n este compus. Daca nu ar fi fost compus, ar fi insemnat sa fie prim si sa aiba doar doi divizori(1 si el insusi). Dar pe langa acestia, si n este divizor, si cum n > 1, (p+n) nu poate fi prim.

2.
In cazul de la exercitiul 1 aveam 100 de numere, iar n putea lua valori de la 2 la 100. Am demonstrat ca oricare ar fi n intre aceste valori, p+n este numar compus. Asadar:

p+2 este compus
p+3 este compus
...
p+100 este compus

p+2, p+3, ..., p+100 sunt 99 de numere consecutive compuse.
Inductiv, se observa ca pentru a avea 999 de numere consecutive compuse, p ar trebui sa fie produsul numerelor de la 1 la 1000, iar n poate lua valori de la 2 la 1000.

p=1*2*...*1000

p+2 este compus
p+3 este compus
...
p+1000 este compus