Question

1) Se considera piramida VABCD cu baza patratul ABCD si notam M,N,P,Q mijoacele muchiilor laterale VA,VB,CV respectiv VD.
a) Stabiliti pozitia planelor (ABC) si (MNP)
b) Determinati raportul perimetrelor patrulaterelor MNPQ si ABCD

2) Fie ABCD un tetraedu si punctele E∈(AB), F∈(AC) si G∈(AD), astfel incat AE supra AB=1 supra 4, AF supra FC= 1 supra 3 si GD supra AD= 3 supra 4. Aratati ca (EFG)║(BCD)

3) Triunghiul dreptunghic ABC (m(∡A)=90°) si dreptunghiul ABMN sunt situate in plane diferite. Stabiliti pozitia dreptei AB fata de planul (ACN)


DAU COROANA!!!

Answer 1

1)
MN e linie mijlocie in tr. VAB ⇒ MN║AB
NP e linie mijlocie in tr. VBC ⇒ NP║BC
avem doua drepte concurente in planul (MNP) MN si NP care sunt paralele cu doua drepte concurente din planul (ABC), AB si BC
rezulta (MNP)║(ABC)
MNPQ are laturile congruente fiind linii mijlocii.
MQ=QP=PN=MN=AB/2
perimetrul MNPQ=4AB/2 = 2AB
perimetrul ABCD=4AB
raportul =2AB/4AB=1/2

2)
AE/AB=1/4 ⇒ AE/(AB-AE)=1/3 ⇒ AE/BE=1/3
AF/FC=1/3
GD/AD=3/4 ⇒ GD/(AD-GD)=3/1 ⇒ GD/AG=3/1 ⇒ AG/GD=1/3
(vezi proprietatile rapoartelor egale)
aplicam reciproca lui thales si se obtine:
EG║ED, GF║DC, EF║BC rezulta (EFG)║(BCD) (vezi teoria paralelism plane)

3)
AB⊥AN  (ABMN este dreptunghi)
AB⊥AC (tr. ABC e dreptunghic in A)
AN si AC apartin planului (ACN) deci:
AB⊥(ACN) (vezi teoria)