1. Se consideră trapezul ABCD, cu AB | CD s AB > CD. Dacă punctele MQ de pe iatura AD sunt simetrice fată de mijlocul laturi AD, iar punctele N si P de pe latura BC sust simetrice față de mijlocul laturii BC, astfel încát MN | AB, demonstrează că a) PQ|| AB; b) linia mijlocie a trapezului ABCD coincide cu linia mijlocie a trapezului MNPQ.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a) Din ipoteza MN | AB si M este simetric cu privire la mijlocul AD rezulta ca si N este simetric cu privire la mijlocul BC. Acest lucru inseamna ca linia MN este paralela cu linia BP si PQ este paralela cu NC. De asemenea, deoarece N si P sunt simetrice fata de mijlocul BC, linia NP este paralela cu linia BC. Prin urmare, avem doua perechi de linii paralele: MN || BP si PQ || NC, iar aceste doua perechi de linii paralele sunt taiate de dreptele MP si BC. Rezulta ca PQ || AB.
b) Fie E mijlocul lui AB si F mijlocul lui DC. Deoarece trapezul ABCD este convex, linia mijlocie a trapezului ABCD trece prin mijlocul segmentului EF. De asemenea, deoarece MN | AB si PQ || AB, MN si PQ sunt paralele cu linia mijlocie a trapezului ABCD. Prin urmare, MN si PQ sunt paralele si trec prin mijlocul lui EF, ceea ce inseamna ca linia mijlocie a trapezului MNPQ coincide cu linia mijlocie a trapezului ABCD.