Question

1.Se dau numerele x=√3+2 si y=2/3+(√3)^-1.Stabiliti daca (x-1)^2=6y
^=la puterea
2.Aratati ca diferenta patratelor a doua numere intregi impare este multiplu de 8

Answer 1

1) (x-1)^2=(rad(3)+2-1 )^2 =(rad(3)+1)^2=3+1+2*rad(3)=4 +2*rad(3)
y=2/3+rad(3)^(-1)=2/3 +1/rad(3)=2/3+rad(3)/3 =(2+rad(3))/3
=> 6*y=6*( (2+rad(3) )/3)=2*(2+rad(3))=4+2*rad(3). deci adevarat.

2) un nr este impar daca este de forma (2*k+1)
consideram ca cele 2 numere sunt (2*k+1) si (2*p+1), cu k,p nr intregi
deci avem:
 (2*k+1)^2-(2*p+1)^2=4*k^2+1+4*k -(4*p^2+1+4*p)=
                                 =4(k^2-p^2)  +4(k-p) =4*(k-p)*(k+p) +4*(k-p)=
                                 =4*(k-p)*(k+p +1)
deci am ajuns sa aratam ca  numarul  4*(k-p)*(k+p +1) este divizibil cu 8

            4*(k-p)*(k+p +1) este divizibil cu 8 <=> (k-p)*(k+p+1) divizibil cu 2
                                avem 4 cazuri:
1) k,p nr impare => diferenta lor este un nr par =>(k-p)*(k+p+1) divizibil cu 2
2)k- impar, p-par =>k+p+1 =nr par          =>(k-p)*(k+p+1) divizibil cu 2
3)k-par, p-impar =>k+p+1 =nr par          =>(k-p)*(k+p+1) divizibil cu 2
4) k-par,p-par =>(k-p)=nr par                 =>(k-p)*(k+p+1) divizibil cu 2

=> diferenta patratelor a doua numere intregi impare este multiplu de 8