Question

1. Simplificand fractia 6+12+...+606 / 10+ 20 + 30+ ... 1010 obtinem fractia ireductibila:
a. 3 / 5; b. 6 / 5 ; c. 3 / 10 ; d. 3 / 2.

2. Numarul natural x din egalitatea ( 8 la puterea 10 : 2 la puterea 9 ) · x - 1 = 1 + 2+ 2 la puterea 2 + ... + 2 la puterea 24 este:
a. 4 ; b. 1; c. 16; d. 8.

Answer 1

1) Se calculeaza prima suma:
   S1 = 6 + 12 + ... + 606
        = 6( 1 + 2 + ...+ 101)
   Se aplica SUMA LUI GAUSS
   S = n( n + 1) / 2
   la noi n = 101, ultimul numar
   S1 = 6 · 101( 101 + 1) / 2
        = 6 · 101 · 102/2
       = 606 - 51
   S1 = 30906
2) Se calculeaza a doua suma:
   S2 = 10 + 20 + 30 +....+ 1010
         = 10( 1 + 2 + 3+ ...+ 101)
         = 10 · 101 ( 101 + 1) /2, se aplica SUMA LUI GAUSS
         = 10 - 101 · 102/2
         = 1010 · 51
     S2 = 51510
3) iMPARTIM SUMELE, S1 / S2 =( 6· 5151 ) / ( 10 · 5151) , simplifici cu 5151
   S1 / S2 = 6 /10
   S1 / S2 = 3/5
    PUNCTUL A

2

Answer 2

 [tex]1).\\
...=\frac{6(1+2+3+...+101)}{10(1+2+3+...+101}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\;\;raspuns:\;a).\\ 2).\;\;[/tex]\\
$2).\\ ...=\underbrace{[(2^3)^{10}:2^9]}_{2^{21}}\cdot{x}-1=\underbrace{1+2+2^2+...+2^{24}}_{\frac{2^{25}-1}{2-1}}$\\
$\\adica:\;x=(2^{25}-1):2^{24}=\;\;;\;\;x=2-\frac{1}{2^{24}}$