Question

1. Suma a trei numere este 130. Stiind ca ele sunt invers proportionale cu numerele 2,3,4, aflati numerele.
2. Aflati numerele a,b,c ∈ Q,stiind ca sunt invers proportionale cu 2,5,6 si ca a-b=15.
3. Aflati numerele x si y, stiind ca sunt invers proportionale cu 3 si 2,(4) si ca media lor aritmetica este 263
4. Suma a patru numere este 5. Stiing ca ele sunt invers proportionale cu $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; 0,4; 0,2, aflati numerele.
5. Determinati numerele x,y,z stiind ca sunt invers proportionale cu 0,5; 0,(3)l 0,25 si ca 6a+2b-5c=50
6. Gasiti doua numere naturale x si y invers proportionale cu numerele 0,2 si 0,5, stiind ca suma dintre dublul primului si triplul celuilalt este 48.
(dau coroana + puteti face si un exercitiu la alegerea voastra nu conteaza doar datimi raspunsuri buna va rog)

Answer 1

1. Suma a trei numere este 130. Stiind ca ele sunt invers proportionale cu numerele 2,3,4, aflati numerele.

$a+b+c=130$

$a,b,c$  i.p  cu $2,3,4$

$2a=3b=4c=k$

$a=\frac{k}{2}$

$b = \frac{k}{3}$

$b = \frac{k}{4}$

$\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 130$

$6 \cdot k+ 4 \cdot k+3 \cdot k=1560$

$13 \cdot k=1560$

$k=120$

$a=\frac{120}{2} =60$

$b= \frac{120}{3} =40$

$c=\frac{120}{4} =30$

2. Aflati numerele a,b,c ∈ Q,stiind ca sunt invers proportionale cu 2,5,6 si ca a-b=15.

$2a=5b=6c=k$

  $a=\frac{k}{2}$

  $b=\frac{k}{5}$

  $c=\frac{k}{6}$

$a-b=15$ ⇒ $\frac{k}{2} - \frac{k}{5} = 15$ ⇒ $5k-2k=150$ ⇒ $k=50$

$a=\frac{k}{2} =25$,

$b=\frac{k}{5} =10$

$c = \frac{k}6{} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

3. Aflati numerele x si y, stiind ca sunt invers proportionale cu 3 si 2,(4) si ca media lor aritmetica este 263

$2,(4)= 2\frac{4}{9}=\frac{22}{9}$

$a,b$  i.p cu $3$  si $\frac{22}{9}$  

$3 \cdot a=\frac{22 \cdot b}{9} =k$

$a=\frac{k}{3}$

$22 \cdot b=9 \cdot k$

$b=\frac{9 \cdot k}{22}$

$ma =\frac{(a+b)}{2} =263$

$a+b=263 \cdot 2$

$a+b=526$

$\frac{k}{3} + \frac{9 \cdot k}{22} =526$

$22 \cdot k+27 \cdot k =34716$

$49 \cdot k=34716$

$k= \frac{34716}{49}$

$a= \frac{\frac{34716}{49}}{2}= {\frac{34716}{49} \cdot \frac{1}{2}= \frac {17358}{49}$

$b= 9 \cdot \frac{\frac{34716}{49}}{22}= 9 \cdot {\frac{34716}{49} \cdot \frac{1}{22}= 9 \cdot \frac{1578}{49} = \frac{14202}{49}$

4. Suma a patru numere este 5. Stiing ca ele sunt invers proportionale cu ; ; 0,4; 0,2, aflati numerele.

$a+b+c+d=5$

$\frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot b = \frac{2}{5} \cdot c = \frac{1}{5} \cdot d$

$b = \frac{3}{2} \cdot a$

$c = \frac{5}{4} \cdot a$

$d = \frac{5}{2} \cdot a$

$a+ \frac{3}{2 \cdot a}+ \frac{5}{4 \cdot a}+ \frac{5}{2 \cdot a}=5$

$4 \cdot a+6 \cdot a+5 \cdot a+5 \cdot a=20$

$a=1$

$b= \frac{3}{2}$

$c= \frac{5}{4}$

$d= \frac{5}{2}$

5. Determinati numerele x,y,z stiind ca sunt invers proportionale cu 0,5; 0,(3)l 0,25 si ca 6a+2b-5c=50

$\frac{3}{9} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot b = \frac{1}{4} \cdot c =k$

$a= 3 \cdot k$                                                    $a= 3 \cdot 25=75$

$b=2 \cdot k$                                                      $b= 2 \cdot25 =50$

$c=4 \cdot k$                                                      $c=4 \cdot 25 =100$

$6 \cdot 3 \cdot k + 2 \cdot 2 \cdot k -5 \cdot 4 \cdot k= 50$

$18\cdot k+ 4 \cdot k -20 \cdot k= 50$

$2 \cdot k= 50$

$k=25$

6. Gasiti doua numere naturale x si y invers proportionale cu numerele 0,2 si 0,5, stiind ca suma dintre dublul primului si triplul celuilalt este 48.

$(x;y) i.p. (0,2;0,5)$

$2 \cdot x+3 \cdot y=48$

$\frac{x}{0,2} =\frac{x}{0,5}=K$  ⇒ $x \cdot \frac{2}{10} =y \cdot \frac{5}{10} =K$

$\frac{x}{0,2}=\frac{x}{0,5}=K => x \cdot \frac{2}{10} =y \cdot \frac{5}{10} =K$

                       $x=K = \frac{2}{10} = \frac{10}{2 \cdot K} =5 \cdot K$

                       $y=K = \frac{5}{10} = \frac{10}{ 5 \cdot K} =5 \cdot K\\ = 2 \cdot K$

$2 \cdot 5 \cdot K+3 \cdot 2 \cdot K=48$

$10 \cdot K+6 \cdot K=48$

$16 \cdot K=48$

$K=48:16$

$K=3$

$x=3 \cdot 5=15$

$y=3 \cdot 2=6$

Sper că te-am ajutat!

Succes!