Question

1) Suma mai multor nr intregi consecutive este 49 .Aflati cate nr sunt daca nr pozitive sunt cu doua ori mai multe decat cele negative.
2)Sa se arate ca oricare ar fi n apartine lui N nr (-2)^n+(-2)^n+1+(-2)^n+2+(-2)^n+3 este divizibil cu 5

Answer 1

1)
numerele sunt de forma
-x; -x+1;....-1;0;1;2....x;x+1;x+2...;x+k

stim ca suma lor este 49
deci , dupa reducerea numerelor opuse 
(x+1)+...+x+k=49
in total k numere,deci k/2 perechi , iar suma unei perechi este x+1+x+k=2x+k+1
atunci
(2x+k+1)*k/2=49

(2x+k+1) *k=98=1*98=2*49=7*14=14*7=98*1

cum 2x+k+1>k, avem doar 2 variante posibile
o varianta
 ⇒k=7 si 2x+k+1=14, deci x=3

atunci numerele sunt

-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 in total 2*3+1+7=14 numere
cu suma 4+5+6+7+8+9+10=14*7/2=49

cealata ar fi k=1 si
2x+k+1=98
2x=96
x=48
 si atunci numerele sunt
 -48;-47....0.1.....47;48;49 ..in total 48*2+1+1=98+2=100 de numere cu suma 49


2)
dand factor comun pe (-2) ^n, obtinem

(-2)^n(1-2+4-8)=(-2)^n *(-5) = (-1) ^(n+1) *2^n*5 care este divizibil (in Z) cu 5