Question

1)$( \frac{2a}{2a+b} - \frac{ 4a^{2} }{4 a^{2}+4a+ b^{2} } ) : ( \frac{2a}{ 4a^{2}- b^{2} } - \frac{1}{2a-b } )$ 2)  Demonstrati egalitatile  $\frac{1}{K(K+1)(K+2)} = \frac{1}{2} [ \frac{1}{K(K+1)} - \frac{1}{(K+1)(K+2)} ]$  = $\frac{1}{K(K+1)(K+2)}$     ..la cealalta am rezolvat eu -> $\frac{1}{K(K+2)}$   -> si calculatile Sumele pt  prima -> S1= $\frac{1}{1*2*3 } + \frac{1}{2*3*4 } +...... \frac{1}{98*99*100}$ si la a doua ->S2= $\frac{1}{1*3} + \frac{1}{2*4} + \frac{1}{3*5} +.......+ \frac{1}{98*100}$

Answer 1

k , k +1 , k +2  numere consecutive din 1 in  1 
 fie  o parte din ex: 
1 /  k · ( k +1)    =   1 / k    - 1 / ( k+1)       
daca aduci  la acelasi numitor , egalitate  adevarata  
atunci 
1 / k · ( k +1) · ( k +2) = [ 1 / k  - 1 / ( k +1) ]  ·  1 / ( k +2) = 
                = 1 / k  ·  1 / ( k +2)    - 1 / ( k +1) · 1 /( k +2) = 
               =   1 / k · ( k +2)   -  1 / ( k + 1) · ( k +2)  = 
                           ↓                                ↓
 numere consecutive din 2                    din 1 in  1 
                           in2 

folosim acest principiu  pentru numere consecutive  : 
din 1 in 1        1 / k · ( k +1)  =   1 / k    - 1 / ( k +1) 
din 2 in 2         1 / k · ( k +2)  = 1 /2 ·[  1 / k    - 1 / ( k +2)  ] 
din 3 in 3          1 / k · ( k +3 ) = 1 /3 · [  1 / k  -  1 / ( k +3 ) ] 
din 4 in  4          1 / k · ( k +4)  = 1 / 4 · [ 1 / k -   1 / ( k +4) ]    
   = 1 / 2 · [ 1 /k -  1 / ( k +2)  ]   -  [ 1 /( k +1)  - 1 / ( k +2) ] = 
      =  1 / 2·k    -   1 / 2· ( k +2)    - 1 / ( k +1) +  1 / ( k +2)  =
        = 1 / 2 ·k     - 1 / ( k +1)  + 1 / ( k +2)  - 1 / 2· ( k +2) = 
                                                  aducem la acelasi numitor 2
          = 1 / 2·k  - 1  / ( k +1 )   + 1 / 2· ( k +2) 
                 la nivel de produs , folosim aceasta scriere 

pentru acest ex = 1 / 2·k  - 2 / 2·( k+ 1)   + 1 / 2· ( k +2 ) 
            =  [ 1 /2·k   - 1 /2 ·( k +1 ) ]  -  [ 1 /2·( k +1)  - 1 /2 ·( k +2) ] 
             =             1 /2 · 1 / k · ( k +1)    - 1  /2  · 1 / ( k +1) ·( k +2) 


1 /1·2·3 = 1 / 2 ·  [ 1 /1·2  - 1 / 2 ·3 ] 
1 / 2· 3 ·4 = 1 /2  · [ 1 / 2 ·3 - 1 /3 ·4 ] 
1 / 3· 4·5  = 1 /2 · [ 1 / 3·4 - 1 / 5 ·5 ] 
  ......................................... 
 1 / 97·  98 · 99 = 1 /2 ·  [ 1 /97 ·98  - 98 · 99 ] 
 1 / 98 ·99·100 = 1 /2 · [ 1 / 98 ·99  - 1 / 99 ·100 ] 

adunam = suma  = 1 /2 · [ 1 / 2 - 1 / 99 ·100 ]