Question

1)$\frac{3}{1X4}$+$\frac{3}{4X7}$+...+$\frac{3}{2002X2005}$
2)$\frac{1}{1X2}$+$\frac{1}{2X3}$+...+$\frac{1}{n(n+1)}$,n∈N*

Answer 1

1) Avem relatia generala
$\frac{3}{n(n+3)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$
Atunci putem scrie termenii sumei ca
$\frac{3}{1*4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4*7}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$
$\frac{3}{7*10}=\frac{1}{7}-\frac{1}{10}$
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$\frac{3}{1999*2002}=\frac{1}{1999}-\frac{1}{2002}$
$\frac{3}{2002*2005}=\frac{1}{2002}-\frac{1}{2005}$
Daca adunam toate aceste fractii
$\frac{3}{1*4}+\frac{3}{4*7}+\frac{3}{7*10}+...+\frac{3}{1999*2002}+\frac{3}{2002*2005}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+..+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2002}-\frac{1}{2005}=1-\frac{1}{2005}=\frac{2005-1}{2005}=\frac{2004}{2005}$
2) Aceeasi idee ca mai sus
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Folosim asta pentru fiecare termen al sumei
$\frac{1}{1*2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
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$\frac{1}{(n-1)*n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
$\frac{1}{n*(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Atunci daca le adunam obtinem ca
$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+..+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$