Question

1) Un elev citeste in prima zi a vacantei o pagina de carte, apoi in fiecare zi un numar dublu de pagini fata de ziua precedenta.Dupa cate zie a citit
1023 de pagini?

2)Mai multi copii vor sa cumpere o minge.Daca fiecare participa cu 5 lei le lipsesc 15 lei, iar daca fiecare participa cu 8 lei le raman 18 lei.Cati copii sunt si cat costa mingea?

Answer 1

 1)   In prima zi copilul citeste 1 pagina (se poate scrie ca 2⁰)
A doua zi numarul se dubleaza adica 2¹
A treia zi se dubleaza din nou adica 2²
Si asa mai departe.
In ziua n copilul citeste 2 la puterea n-1

Atentie aici este cheia problemei exponentul este cu 1 mai mic decat numarul zilei.
Numarul de pagini citite la sfarsitul zilei n este 
S=2⁰+2¹+...+2(la puterea n-1) 
Pentru a calcula suma se aduna 2⁰=1 in ambii termeni ai egalitatii
S+1=2⁰+2⁰+2¹+...+2(la puterea n-1)
Se grupeaza de fiecare data primii 2 termeni si se tine seama de faptul ca 2(la puterea k) +2(la puterea k)=2(la puterea k+1)
Adica 2⁰+2⁰=2¹
2¹+2¹=2²
si asa mai departe
Atunci numarul de pagini citite la sfarsitul zilei n este S=2(la puterea n)-1
si acesta trebuie sa fie mai mic sau egal cu 1023
2(la puterea n)-1≤1023
2(la puterea n)≤1024 (1024 este 2¹⁰)
2(la puterea n)≤2¹⁰
n≤10
Deci la sfarsitul zilei a zecea copilul a citit 1023 de pagini.

2)  notam cu x numarul de copii
5x-15=8x+18
3x=33
x=33:3
x=11
8x-18=88-18=70 lei costa mingea