Question

1) (x+y)-(2x+2y)+(3x+3y)-(4x+4y)+....+(49x+49y)-(50x+50y)2) se știe ca x-y+2z=5. Calculati suma: S=(x-y+2z)+(2x-2y+4z)+.....+(10x-10y+20z) rezolvare + explicatii

Answer 1

Faci asa:
   
    1)Daca desfaci toata ecuatia iti da ca :$(x+y)-(2x+2y)+(3x+3y)-(4x+4y)+...+(49x+49y)-\\-(50x+50y)=(x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+\\+49(x+y)-50(x+y)$
         Acum trebuie sa dam factor comun pe (x+y) si sa separam elementele negative de cele pozitive, asa : $(x+y)-2(x+y)+3(x+y)-4(x+y)+..+49(x+y)-50(x+y)=\\=(x+y)(1+3+5+...+49)-(x+y)(2+4+...+50)$ .
            Acum trebuie sa aplicam o formula specifica acestei situatii. Daca de exemplu avem un sir de numere: 1+2+3+4+....+n acesta va fi egal cu n(n+1)/2 .
            Si 2+4+...+50 se mai poate scrie si ca 2*(1+2+3+...+25).
           
          Prima parte e putin mai grea deoarece nu poti sa aplici formula de mai sus deoarece numerele sunt impare..dar am gasit o formula. Un numar impar poate fi reprezentat de formula 2*x+1=nr.impar. Deci daca avem numerele: 1+3+5+7 acestea vor fi egale cu $(2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)$.
        Pentru afla cate numere impare sunt luam ultima cifra(in cazul nostru 7) si aplicam formula, asa: $2*n+1=7=\ \textgreater \ 2*n=6=\ \textgreater \ n=3$ si deoarece numaratoarea incepe de la 0 inseamna ca sunt 4 numere.
 
            Acum vom impartii ecuatia in doua parti.Prima parte va fi :
     $(x+y)(1+3+5+...+49)=\\=(x+y)[(2*0+1)+(2*1+1)+...+(2*24+1)]=\\=(x+y)[2*(0+1+..+24)+25*1]=\\=(x+y)(2* \frac{24*25}{2} +25)=\\=(x+y)(24*25+25)=25^2(x+y)=625(x+y)$
  
            A doua parte va fi:
     $-(x+y)(2+4+...+50)=-(x+y)*2*(1+2+..+25)=\\=-(x+y)*2*\frac {25*26} 2=-(x+y)*25*26=-650(x+y)$
      Dupa cum vezi $2* \frac{25*26}{2}=25*26$ .

      Acum le unim,dam factor comun pe (x+y) si ne da ca:$625(x+y)-650(x+y)=-25(x+y)$

           Si daca x=y=7 atunci $-25(x+y)=-25*7=-175$

2)Faci ca la 1) doar ca e mai usor. Mai intai incerci sa-l scoti in afara pe (x-y+2z) ,asa: 
$(x-y+2z)+(2x-2y+4z)+....+(10x-10y+20z)=\\=(x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)$
                 Acum il dam factor comun pe x-y+z : 
$(x-y+2z)+2*(x-y+2z)+..+10*(x-y+2z)=\\=(x-y+2z)(1+2+...+10)=\\=(x-y+2z)* \frac{10*11}{2} =\\=(x-y+2z)*55$
      
                      Stiind ca x-y+2z e 5 inseamna ca $(x-y+2z)*55=5*55=275$

Answer 2

1) Expresie se mai poate scrie ...
         - 2(x+y) - 4(x+y) - ... - 50(x+y)
         +  (x+y) +3(x+y)+ ... +49(x+y)   suma algebrica a lor este...
            -(x+y) -  (x+y) - ...  - (x+y) =  - 25(x+y)  ⇒ rezultat final =  -25 * 7 = -175 ;
2)  S=(x-y+2z) +2(x-y+2z)+...+10(x-y+2z) =5(1+2+3+...+10) = 275