Question

10 a Arătați că numărul a = 2017 +2 (1+2+...+2016) este pătrat perfect. b Arătaţi că numărul b=1+3+5+...+2017 este pătrat perfect. c Arătați că numărul c = 81 + 2 · 81 + 3 · 81 + ... + 49 · 81 este pătrat perfect. d Arătaţi că numărul d = 2 (1+2+3+...+124) + 125 este cub perfect.


REZOLVARE CLASA A CINCIEA MODUL 2​

Answer 1

a) a = 2017+2(1+2+...+2016) = 2017+2(2016×2017)/2

= 2017+2016×2017 = 2017(2016+1) = 2017×2017 = 2017²

b) b = 1+3+5+...+2017

= (1+2+3+4+...+2017)-(2+4+6+...+2016)

= (2017×2018/2)-2(1+2+3+...+1008)

= 2017×1009 - 2(1008×1009/2)

= 2017×1009 - 1008×1009

= 1009(2017-1008) = 1009×1009 = 1009²

c) c = 81+2×81+3×81+4×81+...+49×81

c = 81(1+2+3+...+49)

c = 81×49×50/2

c = 81×49×25 = 9²×7²×5² = (9×7×5)² = 315²

d) d = 2(1+2+3+...+124)+125

= 2(124×125)/2 + 125

= 124×125 + 125

= 125(1+124) = 125×125 = 5³×5³ = (5×5)³ = 25³