Question

10 a Arătați că numărul a = 2017 + 2. (1 + 2 + ... + 2016) este pătrat perfect.
b Arătaţi că numărul b=1+3+5+ ... + 2017 este pătrat perfect.
c Arătaţi că numărul c = 81 + 2.81 +3.81 + ... +49.81 este pătrat perfect.
d Arătaţi că numărul d= 2. (1+2+3+ ... +124) + 125 este cub perfect.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$1+2+3+...+n=\frac{n*(n+1)}{2} \\a=2017+2*(1+2+...+2016)=2017+2*\frac{2016*2017}{2} =1*2017+2016*2017=2017^{2}$

$2n+1=(n+1)^2-n^{2}\\b=1+3+5+...+2017 = (1^2 -0^2 )+(2^2 -1^2 )+(3^2-2^2)+...+(1008^2-1007^2)=-0^{2}+1008^2=1008^2$

$c=81*(1+2+3+...+49)=81*\frac{49*50}{2} =81*49*25=(9*7*5)^2$

$d=2*(1+2+3+...+124)+125=2*\frac{124*125}{2}+125=124*125+1*125= 125^2=(5^3)^2=(5^2)^3=25^3$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: