Question

10. Arată că: a) (2 ^ 2018 + 1) / 5; b )(7^ 106 +1):10;c)(6^ 2019 -1):5​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

Ultimele cifre ale puterilor lui 2 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4:

$u(2^{2018}) = u(2^{2016 + 2}) = u({( {2}^{4} )}^{504} \cdot {2}^{2} ) = u({2}^{2} ) = u(4) = 4$

=> u(2²⁰¹⁸+1) = u(4+1) = u(5) = 5

$\implies (2^{2018} + 1) \ \ \vdots \ 5$

b)

Ultimele cifre ale puterilor lui 7 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4:

$u(7^{106}) = u(7^{104 + 2}) = u({( {7}^{4} )}^{26} \cdot {7}^{2} ) = u({7}^{2} ) = u(49) = 9$

=> u(7¹⁰⁶+1) = u(9+1) = u(10) = 0

$\implies (7^{106} + 1) \ \ \vdots \ 10$

c)

Numerele naturale care au ultima cifră 6 ridicate la orice putere n, n ∈ N*, au ultima cifră tot 6:

$u(6^{2019}) = u(6) = 6$

=> u(6²⁰¹⁹-1) = u(6-1) = u(5) = 5

$\implies (6^{2019} - 1) \ \ \vdots \ 5$