Question

10. Arătați ca in expresiile astea sunt prime între ele 6) (5m+4; 4m+3) = 1.
​

Answer 1

Ar trebui sa presupunem ca exista un divizor comun pentru ambele numere. Daca ajungem la concluzia ca divizorul comun este 1 atunci sunt prime intre ele.

Fie d, d∈Z a.i. d|(5m+4) si d|(4m+3)

PROPRIETATI : 1.Fie a și b două numere naturale. Dacă a divide pe b, atunci a divide orice multiplu al lui b.

Adica a|b⇒a|bk, k∈N

2.Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide suma, diferența și produsul numerelor b și c.

Adica : a|(b+c) , a|(b-c), a|b*c

d|(5m+4)⇒d|4(5m+4)⇒d|(20m+16)

d|(4m+3)⇒d|5(4m+3)⇒d|(20m+15)

( Aici am folosit proprietatea 1 enuntata anterior )

d|(20m+16)-(20m+15)⇒d|(20m-20m+16-15)⇒d|1⇒d=1 ( cel mai mare divizor comun al numerelor )  ⇒ (5m+4;4m+3)=1, adica sunt prime intre ele