Question

10) ARATATI CA PENTRU ORICE TREI NUMERE NATURALE CONSECUTIVE CEL PUTIN UNUL ESTE DIVIZIBIL CU 2 SI CEL PUTIN UNUL DIVIZIBIL CU 3

11) DEMONSTRATI CA PRODUSUL A TREI NUMERE NATURALE CONSECUTIVE ESTE UN MULTRIPLU DE 6

12)DEMONSTRATI CA PRODUSUL A CINCI NUMERE NATURALE CONSECUTIVE ESTE MULTRI PLU DE 60.

Answer 1

(10) Arătați că pentru orice trei numere naturale consecutive cel puțin unul este divizibil cu 2 și cel puțin unul divizibil cu 3.

① Orice număr par este divizibil cu 2 și se poate scrie sub forma 2k.

Alegând trei numere naturale consecutive, ele pot fi:

• par; impar; par ⇔ 2k; 2k + 1; 2k + 2  ⇒  există două numere pare (2k și 2k+2)
• impar; par; impar ⇔ 2k - 1; 2k; 2k + 1  ⇒  există un număr par (2k)

⇒ oricare ar fi trei numere naturale consecutive, există între ele cel puțin un număr divizibil cu 2

② Similar, demonstrăm pentru divizibilitatea cu 3:

Un număr divizibil cu 3 se poate scrie sub forma 3k.

Următoarele 2 numere consecutive sunt 3k + 1 și 3k + 2.

Al treilea număr consecutiv este 3k + 3 = 3 (k + 1), dar pe acesta îl asimilăm formei 3k, deoarece este un multiplu de 3.

Așadar, alegând trei numere naturale consecutive, ele pot fi de forma:

• 3k; 3k + 1; 3k + 2  ⇒  primul număr este divizibil cu 3
• 3k - 1; 3k; 3k + 1  ⇒  al doilea număr este divizibil cu 3
• 3k - 2; 3k - 1; 3k  ⇒  al treilea număr este divizibil cu 3

⇒ oricare ar fi trei numere naturale consecutive, există între ele un număr divizibil cu 3

(11) Demonstrați că produsul a trei numere naturale consecutive este un multiplu de 6.

Folosim concluziile exercițiului precedent:

1. oricare ar fi trei numere naturale consecutive, există între ele cel puțin un număr divizibil cu 2
2. oricare ar fi trei numere naturale consecutive, există între ele un număr divizibil cu 3

Așadar, în orice succesiune de trei numere naturale consecutive avem:

– un număr divizibil cu 2, pe care îl notăm cu a = 2n

– un număr divizibil cu 3, pe care îl notăm cu b = 3m

Avem două cazuri posibile:

• a ≠ b

notăm al treilea număr cu c

a · b · c = 2n · 3m · c = 6 · nmc, care este multiplu de 6

• a = b = 2n = 3m

a = 2n și a = 3m  ⇔  2 | a și 3 | a

cum 2 și 3 sunt numere prime între ele ⇒ 2·3 | a ⇔ 6 | a ⇔ a = 6k

(aceasta este una din proprietățile relației de divizibilitate)

notăm celelalte două număre cu c₁ și c₂

a · c₁ · c₂ = 6k · c₁ · c₂, care este multiplu de 6

⇒ oricare ar fi trei numere naturale consecutive, produsul lor este multiplu de 6

(12) Demonstrați că produsul a cinci numere naturale consecutive este multiplu de 60.

60 = 2 · 2 · 3 · 5

Pentru a demonstra că produsul a cinci numere consecutive este divizibil cu 60, trebuie să arătăm că oricare ar fi cinci numere naturale consecutive, avem:

① cel puțin două numere divizibile cu 2

② cel puțin un număr divizibil cu 3

③ cel puțin un număr divizibil cu 5

Să demonstrăm:

① similar cu problema 10:

5 numere consecutive pot fi de forma:

– par, impar, par, impar, par  ⇒  avem două numere pare

– impar, par, impar, par, impar  ⇒ avem două numere pare

⇒ condiția ① este îndeplinită

② cel puțin un număr divizibil cu 3

Am demonstrat la problema 10 că în orice șir de trei numere naturale consecutive, cel puțin unul este divizibil cu 3. Evident, și într-un șir de 5 numere naturale avem cel puțin unul divizibil cu 3.

⇒ condiția ② este îndeplinită

③ cel puțin un număr divizibil cu 5

Demonstrăm similar cu problema 10.

Alegând cinci numere naturale consecutive, ele pot fi de forma:

• 5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4  ⇒  primul număr este divizibil cu 5
• 5k-1; 5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3 ⇒  al doilea număr este divizibil cu 5
• 5k-2; 5k-1; 5k; 5k+1; 5k+2 ⇒  al treilea număr este divizibil cu 5
• 5k-3; 5k-2; 5k-1; 5k; 5k+1 ⇒  al patrulea număr este divizibil cu 5
• 5k-4; 5k-3; 5k-2; 5k-1; 5k ⇒  al cincilea număr este divizibil cu 5

⇒ condiția ③ este îndeplinită

Cele trei condiții fiind îndeplinite ⇒ produsul oricăror cinci numere naturale consecutive este divizibil cu 2 · 2 · 3 · 5 = 60