10. Fie AB o coardă a cercului de centru O. Arătaţi că punctul O aparține mediatoarei
segmentului AB.
Răspunsuri la întrebare
Pentru a arăta că punctul O aparține mediatoarei segmentului AB, trebuie să demonstram că punctul O se află la mijlocul segmentului AB.
Pentru a face acest lucru, vom nota lungimea segmentului AB cu L și vom presupune că segmentul AB are o lungime mai mare decât raza cercului. Atunci, dacă trasăm o dreaptă perpendiculară de la O la segmentul AB, vom obține un triunghi isoscel (triunghiul OAB).
Dacă notăm lungimea razei cercului cu r, atunci unghiul OAB are mărimea 90 grade, iar unghiurile OBA și OAB au mărimea 45 grade fiecare. Astfel, unghiul AOB are mărimea 180 - 90 - 45 - 45 = 0 grade, ceea ce înseamnă că AOB este o dreaptă.
De asemenea, dacă notăm lungimea AB cu L, atunci lungimea BA este L/2. Astfel, lungimea mediatoarei segmentului AB este (L + L/2)/2 = (3L/2)/2 = L/2.
Dacă trasăm acum o dreaptă de la O la mediana, vom obține un triunghi dreptunghic (triunghiul OME), în care OM este raza cercului și ME este L/2.
Din triunghiul dreptunghic, avem relația: OM^2 + ME^2 = OE^2, ceea ce înseamnă că r^2 + (L/2)^2 = (L/2)^2, adică r^2 = 0.
Din această relație rezultă că r = 0, ceea ce înseamnă că punctul O este centru cercului și se află la mijlocul segmentului AB. Astfel, punctul O aparține mediatoarei segmentului AB.