Question

100 puncte:
Arătați că numerele: a=6^1996+5^1997-4^1998 și b=1•2•3•....•1997+5 sunt divizibile cu 5.
va rog cat mai repede+ explicatii

Answer 1

Daca dorim sa demonstram ca un numar este divizibil cu 5 trebuie sa verificam daca ultima cifra este 0 sau 5.

a) a=6¹⁹⁹⁶+5¹⁹⁹⁷-4¹⁹⁹⁸
u(a)=u[u(6¹⁹⁹⁶)+u(5¹⁹⁹⁷)-u(4¹⁹⁹⁸)]=u[u(6⁴)+u(5¹)-u(4²)/]=u(6+5-6)=5 ⇒u(a)=5
⇒ a|5

b) b=1×2×3×...×10×...×1997+5
In grupa de factori ''1×2×3×...×10×...×1997'' exista un factor 10 ⇒
⇒u(1×2×3×...×10×...×1997)=0 
dar u(b)=u[u(1×2×3×...×10×...×1997)+u(5)]=u(0+5)=5 ⇒
⇒ b|5


Sper ca te-am ajutat ! :)

Answer 2

a = 6^1996 + 5^1997 - 4^1998

u(4^1998) = u[(4^2)^999] =u(16 ^999) = 6

u( 6^1996 + 5^1997 - 4^1998) =u(6 + 5 - 6) = 5 ⇒ a ⋮ 5

___________________________________________________

b = 1•2•3• 4 •5• ... •1997 + 5

1•2•3• 4 •5• ... •1997 ∈ M₅ ⇒ 1•2•3• 4 •5• ... •1997 + 5 ∈ M₅ ⇒ b ⋮ 5