Question

100 puncte
Dem ca
a)
$\frac{n - 1}{n} < \frac{n}{n + 1} \: oricre \: ar \: fi \: n \geqslant 2$
b)Justificati
$( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} ..... \times \frac{2n + 1}{2n} ) {}^{2} < \frac{1}{2n + 1}$

​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pozele 2a si 2b sunt pentru subpunctul b).

Cred ai gresit numaratorul ultimei fractii. Am modificat-o...

Succese!. La Prima nu am folosit inductia...

Answer 2

$a) \frac{n - 1}{n } < \frac{n}{n + 1}$

$\frac{ (n - 1)(n + 1)}{n(n + 1)} < \frac{ {n}^{2} }{n(n + 1)}$

${n}^{2} - 1 < {n}^{2} \: | - {n}^{2}$

$- 1 < 0 = > relatia \: e \: adevarata$

$b)( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{2n + 1}{2n} )^{2} < \frac{1}{2n + 1}$

$\frac{1}{2} = \frac{2 \times 0 + 1}{2 \times 1}$

$\frac{3}{4} = \frac{2 \times 1 + 1}{2 \times 2}$

$\frac{5}{6} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 \times 3}$

$.............................................................$

$\frac{2n + 1}{2n} = \frac{2 \times n + 1}{2 \times (n + 1)} \times \frac{n + 1}{n}$

$( \frac{1}{2} ) ^{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2n + 1} = \frac{1}{2 \times 0 + 1} = \frac{1}{3} \\ n = 0$

$\frac{1}{4} < \frac{1}{3} = > (\frac{1}{2} ) ^{2} < \frac{1}{2n + 1}$

$(\frac{3}{4} )^{2} = \frac{9}{16} \\ \frac{1}{2n + 1} = \frac{1}{2 \times 1 + 1} = \frac{1}{5} \\ n = 1$

$\frac{9}{16} < \frac{1}{5} = > (\frac{3}{4} ) ^{2} < \frac{1}{2n + 1}$

$......................................................$

$(\frac{2n + 1}{2n} ) ^{2} = \frac{(2n + 1) ^{2} }{4n ^{2} } = \frac{(2n + 1) ^{3} }{4 {n}^{2}(2n + 1) }$

$\frac{1}{2n + 1} = \frac{4 {n}^{2} }{4 {n}^{2} (2n + 1)}$

${(2n + 1)}^{3} < 4 {n}^{2}$

Deoarece tot termenii din stânga sunt mai mici decat cei din dreapta, atunci inecuatia este adevărată.

Sper că te-am ajutat. Succes!