Question

104 vrg, dau coroana ​

Answer 1

Va trebui să lucrăm pe bucăți, fiind exercițiul de așa natură.

________________________________

$a=3^{1996} -2(3^{1995} +3^{1994}+...+3^{100})$

Vom lua suma din paranteză și o vom numi S, deci vom avea:

$S=3^{100}+...+3^{1994}+3^{1995}$

Adunăm cu 1 în ambii membrii:

$S+1=1+3^{100}+...+3^{1994}+3^{1995}$

Și acum înmulțim cu 3 în ambii membrii:

$3(S+1)=3+3^{101}+...+3^{1995}+3^{1996}$

$3S+3=3+3^{101}+...+3^{1995}+3^{1996}$

De aici vom scade un S din ambii membrii, astfel vom rămâne cu:

$2S+3=3-3^{100} +3^{1996}$

Il scădem pe 3 din ambii membrii:

$2S=-3^{100}+3^{1996}$

$S=\frac{-3^{100}+3^{1996} }{2}$

Il înlocuim pe S în exercițiu:

$a=3^{1996}-2\frac{-3^{100}+3^{1996}}{2}$

$a=3^{1996}-1*(-3^{100}+3^{1996})$

$a=3^{1996}-3^{1996}+3^{100}$

$a=3^{100}$

___________________________________

$b=2^{1996} -(2^{1995}+2^{1994}+...+2^{150})$

Vom lua tot la fel, suma din paranteză și vom proceda la fel!

$S=2^{150}+...+2^{1994}+2^{1995}$

Adunăm cu 1 în ambii membrii:

$S+1=1+2^{150}+...+2^{1994}+2^{1995}$

Înmulțim cu 2 în ambii membrii:

$2S+2=2+2^{151}+...+2^{1995}+2^{1996 }$

Scădem un S din ambii membrii și vom rămâne cu :

$S+2=2-2^{150}+2^{1996}$

Scăpăm și de 2 din ambii membrii:

$S=-2^{150}+2^{1996}$

Acum îl înlocuim pe S în exercițiu:

$b=2^{1996}-(-2^{150}+2^{1996})$

$b=2^{1996}-2^{1996}+2^{150}$

$b=2^{150}$

____________________________________

Am obținut :

$a=3^{100}\\b=2^{150}$

Că să le comparăm, vom încerca să le aducem la o putere cu același exponent!

$a=3^{100}\\a=3^{2^{50}}\\a=9^{50}$

$b=2^{150}\\b=2^{3^{50}}\\b=8^{50}$

Acum le putem compara și observăm clar că:

$a>b$

Întrucât

$9^{50}>8^{50}$

Îmi pare rău că n-am putut pune exercițiul pe caiet... așa s-ar fi înțeles mai ușor...

Sper totuși că ai înțeles!