Question

113. Demonstrați următoarele inegalități, în ipotezele indicate:
f)
$\frac{1 + a {}^{2} }{b} + \frac{1 + b {}^{2} }{a} \geqslant 4$
a,b>0​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\frac{1 + a {}^{2} }{b} + \frac{1 + b {}^{2} }{a} \geqslant 4$

La prima amplificam cu 2a , la a doua cu 2b si la 4 cu 2ab iar ecuatia devine

$a {}^{2} + 2a + 1 + b {}^{2} + 2b + 1 \geqslant 8ab$

Aplicam formula patratului

$(a + 1) {}^{2} +( b + 1) {}^{2} \geqslant 8ab$

Daca a si b > 0 iar patratul unui nr >0 rezulta

$\frac{1 + a {}^{2} }{b} + \frac{1 + b {}^{2} }{a} \geqslant 4$