Question

115. Se uneşte un punct M interior unui paralelogram cu virfurile acestuia. Fie AB şi CD două laturi opuse. Să se arate că suma ariilor triunghiurilor MAB şi MCD este constantă oricum s-ar mişca punctul M.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

AB ≡ CD, AD ≡ BC

notăm MG ⊥ AB, MH ⊥ DC, DN ⊥ AB

MG este înălțime în ΔMAB și MH este înălțime în ΔMCD

ABCD paralelogram: AB || CD => HG ≡ DN

HG = MG + MH

$Aria_{(ABCD)} = 2Aria_{(ADB)} = 2 \cdot \frac{DN \cdot AB}{2} \\ = 2\cdot \frac{ HG\cdot AB}{2} = 2\cdot \frac{(MG + MH)\cdot AB}{2} \\ = 2\cdot \frac{(MG\cdot AB + MH\cdot DC)}{2} \\ = 2\cdot (Aria_{(MAB)} + Aria_{(MCD)})$

=>

$Aria_{(MAB)} + Aria_{(MCD)} = \frac{Aria_{(ABCD)}}{2}$